Beweis abgeschlossene Menge

06.07.2020, 19:39

Dork

Beweis abgeschlossene Menge

Meine Frage:
Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme nicht weiter.

Meine Ideen:
Ich hab probiert zu zeigen,dass das Komplement offen ist, bin aber auf keinen grünen Zweig gekommen mit dem Ansatz. Ist das überhaupt der richtige Ansatz ? und wenn ja wie fahre ich dann fort?

07.07.2020, 08:29

Huggy

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RE: Beweis abgeschlossene Menge

Zitat:

Original von Dork
Ich hab probiert zu zeigen,dass das Komplement offen ist, bin aber auf keinen grünen Zweig gekommen mit dem Ansatz.

Wähle doch den direkten Weg. Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die fragliche Menge. Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Werten in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und Grenzwert $\begin{eqnarray*} x_G \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass dann $\begin{eqnarray*} x_G \in M \end{eqnarray*}$ . Das ergibt sich leicht aus der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

07.07.2020, 13:25

Dorkk

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RE: Beweis abgeschlossene Menge
ok also ich wähle $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n} = x \end{eqnarray*}$ . Dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} f(x_{n}) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wegen der Stetigekeit.
Aber wie ist die Argumentation, dass jetzt $\begin{eqnarray*} f(x) \leq c \end{eqnarray*}$ ist ?
Ich weiß ich kann $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(x_{n}) umschreiben zu [latex]f(\lim_{n \to \infty }x_{n}) \end{eqnarray*}$
Ich sehe aber nicht was mit das bringt

07.07.2020, 14:00

Huggy

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RE: Beweis abgeschlossene Menge
Ein Widerspruchsbeweis bietet sich an. Annahme: Es sei $\begin{eqnarray*} f(x_G)=c_1>c \end{eqnarray*}$ . Nun wähle man ein $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<\epsilon <c_1-c \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu diesem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x_g-x_n|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(x_g)-f(x_n)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(x_n)>c \end{eqnarray*}$ . Widerspruch, da alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ aus der fraglichen Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sind, für sie also gilt $\begin{eqnarray*} f(x_n) \le c \end{eqnarray*}$ .

07.07.2020, 17:01

La matematica

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Zu a) Das Komplement $\begin{eqnarray*} M = \left\{ x \in \mathbb R :f\left(x\right) > c \right\} \end{eqnarray*}$ ist offen, denn:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ Dann gilt $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)< c \end{eqnarray*}$ und somit finden wir ein $\begin{eqnarray*} \in > 0 \end{eqnarray*}$ sodass auch $\begin{eqnarray*} f\left(x\right) + \in < c \end{eqnarray*}$ ist (beispielsweise $\begin{eqnarray*} \in = \frac{c- f(x)}{2} \end{eqnarray*}$

Da f stetig ist, existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, wenn $\begin{eqnarray*} | y-x | < \delta \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} | f(y) - f(x) | < \in \end{eqnarray*}$ .

Somit gilt also $\begin{eqnarray*} f(y) = f(x) + f(y) - f(x)\leq f(x)+ | f(y)- f(x) | < f(x) + \in < c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \in B_{\delta} \end{eqnarray*}$ .

Und dies impliziert $\begin{eqnarray*} B_{\delta} (x) \subset M \end{eqnarray*}$ also muss M offen sein.

Zu b) Wenn f stetig ist, dann ist auch -f stetig. Sei nun $\begin{eqnarray*} c \in f (\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} -c \in -f(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ . Wir haben schon gezeigt, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ x \in \mathbb R :-f(x)>-c\right\} = \left\{ x \in \mathbb R :f(x)>c\right\} \end{eqnarray*}$ offen ist,
also wenn sie nicht-leer ist und nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, kann sie somit nicht abgeschlossen sein.

Wir wählen die stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ und den Bildpunkt c=0, dann ist $\begin{eqnarray*} -1 \in \left\{ x \in \mathbb R :f(x) < c\right\} \end{eqnarray*}$ , also die Menge nicht-leer, und $\begin{eqnarray*} 1 \not\in \left\{ x \in \mathbb R :f(x) <c\right\} \end{eqnarray*}$ , also die Menge nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Nach obiger Überlegung ist dann also $\begin{eqnarray*} \left\{ x \in \mathbb R :f(x) <c\right\} \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen.

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