DGL durch Substitution lösen

06.07.2020, 21:30

MatheAhnungsloser

DGL durch Substitution lösen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Lösen Sie die Differentialgleichung " $\begin{eqnarray*} yy^{'}-4y+4x = 0 \end{eqnarray*}$ " durch eine geeignete Substitution.
Hinweis: Verwenden Sie einebinomische Formel und geben Sie die Lösung in impliziter Form an.

Mein Problem:
Ich habe schon sämtliche Substitutionen probiert. Jedes mal bleibt etwas stehen, was es mir nicht ermöglicht die Variablen zu trennen und die DGL zu lösen. Auch irritiert mich der Hinweis mit der Binomischen Formel. Ist damit der Substitutionsansatz gemeint (habe ich auch probiert, z.B. (y-2x)²=u)?
Ich habe auch schon durch y geteilt und u=x/y substituiert. Auch habe ich die homogene DGL gelöst und dann Variation der Konstanten probiert, aber auch das hat nicht funktioniert. Mein problem ist weniger das ausrechnen, das beherrsche ich denke ganz gut, mir fehlt hier eher der Blick für den richtigen Ansatz.

Kann mir jemadn sagen, wie die korrekte Substitution aussehen muss?

Danke

06.07.2020, 23:17

Ulrich Ruhnau

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RE: DGL durch Substitution lösen

Zitat:

Original von MatheAhnungsloser
Lösen Sie die Differentialgleichung " $\begin{eqnarray*} yy^{'}-4y+4x = 0 \end{eqnarray*}$ " durch eine geeignete Substitution.
Hinweis: Verwenden Sie eine binomische Formel und geben Sie die Lösung in impliziter Form an.

Maple spukt folgende Lösung aus:

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{2x\left(W(2cx)+1\right)}{W(2cx)} \end{eqnarray*}$

wobei W(x) die LambertW-Funktion ist und c eine freie Konstante. Bist Du sicher, daß Deine DGL richtig wiedergegeben wurde?

06.07.2020, 23:40

grosserloewe

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RE: DGL durch Substitution lösen
Wink

y y'-4y+4x=0

y(y'-4)= -4x

(y'-4)= (-4x)/y

Substituiere:

z=y/x

y=z *x

y' =z+z' x

----->

z +z'x -4= -4/z

dz/( -4/z +4 -z) =dx/x

damit kommst Du auch auf die binomische Formel usw ans Ziel

(-4/z) +4 -z =z/(-z^2 +4z-4)

-z^2 +4z-4 = -(z-2)^2 binomische Formel

07.07.2020, 01:14

La matematica

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Also, mit wolframalpha und etwas rechnen: Setze z:=y-2x. Dann erfüllt z die implizite Gleichung:

[attach]51648[/attach]

. Damit ist die Lösung implizit angegeben (wie gewünscht).Wenn man c kennt, kann dann zu jedem x numerisch das z(x) (und damit das y(x)) berechnen. Die Lösungsfunktion ist also als Lösung dieser Gleichung gegeben. Also nicht explizit (direkt ausrechenbar), sondern implizit (numerisch ausrechenbar durch Gleichungslösung).

Nachweis:

[attach]51649[/attach]

Die Idee der Aufgabe ist wohl, das von hinten nach vorne zu rechnen, da weiß ich aber auch nicht, wie man das geschickt schreiben könnte. Ich sehe auch aktuell keine binomische Formel durchschimmern.

07.07.2020, 02:57

MatheExperte

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RE: DGL durch Substitution lösen
Ich habe die Rechnung von La Mathematica überprüft und muss sagen, dass er Recht hat!
Übrigens ist "DerGeile" ein Troll, ich bitte hierbei um rasche Überprüfung, denn bei Mathematik verstehe ich keinen Spaß, das ist eine ernstzunehmende Sache!

Spam entfernt. Steffen

10.07.2020, 00:32

MatheAhnungsloser

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RE: DGL durch Substitution lösen
Die komplette Lösung muss also lauten:

$\begin{eqnarray*} yy^{'} -4y+4 x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{'}=4-4\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

Subst.: $\begin{eqnarray*} z = \frac{y}{x} \,\,\Rightarrow \,\,y = zx\,\, \Rightarrow\,\, y^{'}=z^{'}x+z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z^{'}x+z = 4-\frac{4}{z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^{'}x = 4-\frac{4}{z}+-z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^{'}x = \frac{4z-4-z^2}{z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\frac{zdz}{4z-4-z^2} = \int\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\int\frac{zdz}{\left(z-2\right)^2} = \int\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$

Subst.: $\begin{eqnarray*} u = z-2 \,\,\Rightarrow \,\,z = u+2\,\, \Rightarrow\,\, du = dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\int\frac{u+2}{u^2}du = \int\frac{dx}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\ln\left|u\right| + \frac{2}{u} = \ln\left|x\right| + C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{u} -\ln\left|u\right| - \ln\left|x\right| = C \end{eqnarray*}$

Resubst.:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z-2} -\ln\left|z-2\right| - \ln\left|x\right| = C \end{eqnarray*}$
Resubst.:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{y}{x}-2} -\ln\left|\frac{y}{x}-2\right| - \ln\left|x\right| = C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{y-2x} -\ln\left|y-2x\right| + \ln\left|x\right| - \ln\left|x\right| = C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{\frac{2x}{y-2x} -\ln\left|y-2x\right| = C}} \end{eqnarray*}$

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