Quantorenschreibweise

07.07.2020, 13:49

Martin1999

Quantorenschreibweise

Meine Frage:
Moin
Die Aussage lautet "jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben".
Jetzt habe ich bereits alles Nötige, brauche aber Hilfe bei der Quantorenschreibweise:

Meine Ideen:
Es beschreibt N die Menge aller nat. Zahlen. Ausserdem seien p1,...,pn element P Teiler von n und tauchen in der Primfaktorzerlegung n = p1^k1 * ... * pl^kl auf mit k1,...,kl > 0

Als Quantorenschreibweise habe ich bisher A(umgedreht)n element N: A p element P: Jetzt fehlt halt, dass ich k1,...,kl>0 aufschreiben muss, aber wann? und wie?
einfach nur A(umgedreht)n element N: A p element P: n = p1^k1 * ... * pl^kl und k1,...,kl > 0 etwa?

Vielen Dank

07.07.2020, 13:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Martin1999
Die Aussage lautet "jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben".

Auch $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

In dem Fall musst du auch "leere" Produkte zulassen, welche man gewöhnlich eben als 1 definiert.

Oder aber du beschränkst die Aussage auf natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

07.07.2020, 14:16

Elvis

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Was macht man dann, wenn man die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt ? Was ist mit der Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlen ? Warum nicht gleich mit ganzen oder rationalen Zahlen ?

In die Quantorenschreibweise gehört nicht nur der Allquantor sondern auch Existenzquantoren. Für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} l,k_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ usw.

07.07.2020, 14:24

Martin1999

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Um den Wahrheitswert geht es hier doch nicht. Lediglich um die Quantorenschreibweise der Aussage

07.07.2020, 15:06

Elvis

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Wenn es nur darum geht, nimmst du vielleicht gnädig meinen Hinweis auf die drei Existenzquantoren auf. Ich verstehe allerdings nicht, warum du nicht gleich die vollständig wahre Aussage formulieren möchtest. (Fundamentalsatz der Arithmetik)

07.07.2020, 15:31

Martin1999

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In die Quantorenschreibweise gehört nicht nur der Allquantor sondern auch Existenzquantoren. Für alle n gibt es l,ki und pi usw.

Habe ich ehrlich gesagt nicht verstanden. Warum ist ein Existenzquantor in dieser Aussage relevant?

Für alle n gibt es l,ki und pi

Hilft mir irgendwie auch nicht weiter.

Jede naturliche Zahl n > 1 lässt sich als ein Produkt
n = p1 · p2 · . . . · pr
mit Primzahlen p1, p2, . . . , pr ∈ N schreiben.

Bin jz auf die Überlegung

Für alle n element; N: p1, p2, . . . , pr element N: n = p1 · p2 · . . . · pr

gekommen

Hättest du da etwas einzuwenden?

07.07.2020, 15:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Martin1999
Für alle n element; N: p1, p2, . . . , pr element N: n = p1 · p2 · . . . · pr

Ja, genau hier fehlen die Existenzquantoren! Es ist doch nicht so, dass für alle $\begin{eqnarray*} n,r,p_1,\ldots,p_r \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} n=p_1\cdot\ldots\cdot p_r \end{eqnarray*}$ gilt:

Ansonsten könnte ich ja sagen: Gut, wenn das so ist, dann nehmen wir $\begin{eqnarray*} n=42,r=2,p_1=5,p_2=11 \end{eqnarray*}$ , und laut dieser Aussage gilt dann $\begin{eqnarray*} 42 = 5\cdot 11 \end{eqnarray*}$ , na herzlichen Glückwunsch. smile

07.07.2020, 16:04

Elvis

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Die Aussage ist auch deshalb sinnlos, weil die p's nicht nur natürliche Zahlen sondern Primzahlen sein müssen. Man muss stets über die richtigen Mengen quantifizieren.

07.07.2020, 16:12

Martin1999

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Stimmt. Gut dann würde ich sagen:

Für alle n element N: Es existiert ein p1, p2, ... , pr element P UND Es existiert ein p1, p2, ... , pr element P: n = p1 · p2 · . . . · pr

07.07.2020, 16:44

Martin1999

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ich realisiere gerade dass es dasselbe ist wie davor xD
ich frage mich halt, ob ich die aussage so schreiben muss, dass sie wahr ist

07.07.2020, 17:47

Dopap

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die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ müssen ja nicht verschieden sein.

Am besten ist wohl, gleich die eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlpotenzen zu notieren.

z.b. "dead"= $\begin{eqnarray*} 2^d\cdot 3^e\cdot 5^a\cdot 7^d=46675440 \end{eqnarray*}$

mit a=1,b=2,c=3... erhält man aufgrund des Satzes eine umkehrbare Verschlüsselung. Augenzwinkern

07.07.2020, 18:25

Elvis

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In einfacherer Schreibweise kann man auch das unendliche Produkt über alle Primzahlen betrachten, dann gilt
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N:n=\prod_{p\in \mathbb P}p^{ord_p(n)},ord_p(n)\in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$
fast alle $\begin{eqnarray*} ord_p(n)=0 \end{eqnarray*}$
und das gilt sogar für rationale Zahlen außer 0
$\begin{eqnarray*} \forall q \in \mathbb Q\backslash\{0\}:q=\prod_{p\in \mathbb P}p^{ord_p(q)},ord_p(q)\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
fast alle $\begin{eqnarray*} ord_p(q)=0 \end{eqnarray*}$

Als Anfänger schreibt man eher so

$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N,\exists m\in \mathbb N,\exists p_i\in \mathbb P,\exists \nu_i\in\mathbb N_0,i\in \{k\in \mathbb N:k\le m\}:n=\prod_{i=1}^mp_i^{\nu_i} \end{eqnarray*}$

Der Fundamentalsatz der Arithmetik sagt dann, dass das Produkt bis auf die Reihenfolge der Primzahlen und bis auf Faktoren $\begin{eqnarray*} p_j^0 \end{eqnarray*}$ eindeutig ist.

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