Banachscher Fixpunktsatz

07.07.2020, 23:27	Trontje113	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe, bei der der Banachsche Fixpunktsatz angewendet werden soll. Verstanden habe ich die Aufgabe, ich hänge jedoch an einer Stelle, da ich die Abschätzung für die Kontraktion nicht hinbekomme. Über Ideen/Ratschläge würde ich mich sehr freuen. Bitte beachtet hierbei, dass die Aufgabe aus der Analysis 2 stammt. Lösungsideen, die mit Werkzeugen aus z.B. der Funktionalanalysis stammen, helfen mir überhaupt nicht weiter. Meine Ideen: Meinen Ansatz findet ihr wie die Aufgabe selber im Anhang als Bild. Ein zusätzlicher Ansatz von mir, war die Metrik zu 1 abzuschätzen (aufgrund von sinus <= 1). Das hilft mir ja aber wenig weiter, um eine Lipschitzkonstante zwischen 0 und 1 zu finden.
08.07.2020, 03:52	La matematica	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie es für micht aussieht, hast du die Aufgabe nicht richtig verstanden. Du kannst in deinem Beweis natürlich nicht mit der Funktion f, die du suchst, rumrechnen, schließlich weißt du ja noch gar nicht, dass sie überhaupt existiert. Die Kontraktion, die du hier betrachten sollst, muss eine Abbildung $\begin{eqnarray} C\left[0,1\right] \Rightarrow C\left[0,1\right] \end{eqnarray}$ sein (Deshalb wurde ja auch explizit erwähnt, dass $\begin{eqnarray} (C\left[0,1\right] , \|\| \|\|_{\infty } ) \end{eqnarray}$ vollständig normiert ist). Für den Beweis zeigen wir zunächst für alle $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ die Abschätzung $\begin{eqnarray} \| \sin(x) - \sin(y) \| \leq \| x-y \| \end{eqnarray}$ , die wir später verwenden werden. Für x = y ist die Abschätzung trivial, also sei nun $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ Dann existiert nach dem Mittelwertsatz ein $\begin{eqnarray} \xi \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x) - \sin(y) }{x-y} = cos(\xi) \end{eqnarray}$ Hieraus folgt wie behauptet $\begin{eqnarray} \| \sin(x) - \sin(y) \| = \| cos(\xi) \| \| x-y \| \leq \| x-y \| \end{eqnarray}$ Jetzt definieren wir die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi : C\| 0,1 \| \Rightarrow C\| 0,1 \| \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \phi (f) (x) = x + \frac{1}{2} \sin(f(x)) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \| 0,1 \| \end{eqnarray}$ Dies ist eine Kontraktion, denn für $\begin{eqnarray} f, g \in C\| 0,1 \| \end{eqnarray}$ gilt (anklicken) [attach]51667[/attach] Da $\begin{eqnarray} (C\| 0,.1 \| , \|\| * \|\|_{\infty } ) \end{eqnarray}$ vollständig normiert ist, liefert nun der banachschen Fixpunktsatz eine eindeutige Funktion $\begin{eqnarray} f \in C\| 0,1 \| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f= \phi (f) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f(x) = \phi (f) (x) = x + \frac{1}{2} \sin(f(x)) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \| 0,1 \| \end{eqnarray*}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »