Dart im Quadrat

07.07.2020, 22:14

Dopap

Dart im Quadrat

ein Dartpfeil wird von einer Wurfmaschine zufällig und gleichverteilt zur Abwechselung mal in eine quadratische Zielfläche geworfen.

mit welcher Wahrscheinlichkeit steckt der Pfeil näher zum Zentrum als zur Umrandung?

Überlegung: Eine Gerade mit y=x teilt ein Quadrat mit Seitenlänge 2 und M(0,0) in gleiche Dreiecke, ebenso das Einheitsquadrat im ersten Quadranten.
Es genügt dort den Bereich $\begin{eqnarray*} y\leq x \,\,\land \,\,\, 0 \leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Die Entfernungs-Gleichheitsrelation ist mit $\begin{eqnarray*} 1-x=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ gegeben und schneidet $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y_s=x_s= -1+\sqrt 2 \end{eqnarray*}$
Die Fläche zwischen der Relation und dem Dreieck liefert ein Integral von Null bis $\begin{eqnarray*} y_s \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac {4\sqrt 2 -5}{6} \end{eqnarray*}$ Das Doppelte ist dann:
$\begin{eqnarray*} P\big(d(\text{M})<d(\text{Rand})\big)=\frac {4\sqrt 2-5}{3}\approx 0.219 \end{eqnarray*}$ ?

07.07.2020, 22:39

AbuSimon

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Sind das die einzigen Angaben, die du für diese Aufgabe hast?

07.07.2020, 22:47

Ulrich Ruhnau

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RE: Dart im Quadrat

Zitat:

Original von Dopap
mit welcher Wahrscheinlichkeit steckt der Pfeil näher zum Zentrum als zur Umrandung?

[attach]51664[/attach]
Die Dartscheibe ist hier blau und der Bereich, der näher am Zentrum ist, ist rot. Man erkennt mühelos, daß die Wahrscheinlichkeit, daß die Wurfmaschine das rote Quadrat trifft $\begin{eqnarray*} \frac 14 \end{eqnarray*}$ beträgt.

08.07.2020, 03:46

Leopold

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[attach]51668[/attach]

P liegt näher am Rand als am Zentrum. (Themengebiet: geometrische Örter)

@ Dopap: siehe hier

08.07.2020, 07:02

HAL 9000

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Ja kurios, da hat es UIrich Ruhnau vor nicht einmal einem Monat schon mal korrekt durchgerechnet, sich aber jetzt nicht mehr daran erinnert. Augenzwinkern

08.07.2020, 09:06

Dopap

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soso, dann war das sogar schon mal in der "harten" 3D-Version ein Thema.

Interessante Rechnung von Ullrich Ruhnau in Polarkoordinaten.

Durch Symmetrie und Beschränkung auf den I. Quadranten führt das bei mir auf die Teilfläche

$\begin{eqnarray*} A=\int\limits_{0}^{-1+\sqrt2}\,\left( \frac {1-y^2}{2}-y\right) \,\dd y\qquad, \end{eqnarray*}$ was angenehmer ausfällt.

edit: Ulrich Ruhnau

08.07.2020, 09:50

HAL 9000

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Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann aber nicht $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} 2A \end{eqnarray*}$ .

08.07.2020, 13:51

Dopap

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RE: Dart im Quadrat
sehr aufmerksam, aber ...

Zitat:

Original von Dopap
[...]
Die Fläche zwischen der Relation und dem Dreieck liefert ein Integral von Null bis $\begin{eqnarray*} y_s \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac {4\sqrt 2 -5}{6} \end{eqnarray*}$ Das Doppelte ist dann:
$\begin{eqnarray*} P\big(d(\text{M})<d(\text{Rand})\big)=\frac {4\sqrt 2-5}{3}\approx 0.219 \end{eqnarray*}$ ?

08.07.2020, 14:06

HAL 9000

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RE: Dart im Quadrat
Wenigstens lese ich die Antworten durch...

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