Partition von 64 in 10 Summanden, davon keiner grösser als 12

08.07.2020, 08:34

Antezedenz

Partition von 64 in 10 Summanden, davon keiner grösser als 12

Meine Frage:
Jetzt musss ich doch auch mal eine Frage stellen :-) In der sehr schönen Aufgabensammlung "Denkaufgaben für Kinder von 5 - 15 Jahren" von V. I. Arnold findet sich die folgende Aufgabe:

Wie viele verschiedene Arten gibt es, die Zahl 64 in zehn ganze, positive Summanden zu zerlegen, wobei keiner grösser als 12 ist?
[Antworten, die sich nur in der Reihenfolge der Zahlen unterscheiden,
gelten als gleich.]

Meine Ideen:
Die entsprechende Partition kann man sich mit Computeralgebra ausrechnen lassen oder über Gaussche Binomialkoeffizienten bzw. die erzeugende Funktion (was letztendlich auch auf CAS hinausläuft), es sollte 9673 herauskommen.

Was ich mich frage - übersehe ich da einen ganz einfachen Rechentrick? Oder verstehe ich die Aufgabe falsch? Arnold wollte bestimmt nicht, dass man das mit Computeralgebra löst oder die Polynome von Hand ausmultipliziert?

08.07.2020, 08:55

G080720

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RE: Partition von 64 in 10 Summanden, davon keiner grösser als 12
Dürfen Zahlen mehrfach verwendet werden?

08.07.2020, 09:33

Antezedenz

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RE: Partition von 64 in 10 Summanden, davon keiner grösser als 12

Zitat:

Original von Antezedenz
Wie viele verschiedene Arten gibt es, die Zahl 64 in zehn ganze, positive Summanden zu zerlegen, wobei keiner grösser als 12 ist?
[Antworten, die sich nur in der Reihenfolge der Zahlen unterscheiden,
gelten als gleich.]

Das ist die Originalaufgabe, so wie sie abgedruckt ist. Nachdem da bis auf die Anmerkung mit der Reihenfolge keine weiteren Einschränkungen stehen, verstehe ich die Aufgabe so, dass wirklich alle verschiedenen Arten gemeint sind, die die Bedingung erfüllen, z. B. diese:

12, 12, 12, 12, 11, 1, 1, 1, 1, 1
7, 7, 7, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6

08.07.2020, 10:08

Huggy

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RE: Partition von 64 in 10 Summanden, davon keiner grösser als 12
Aus dem Titel des Buches kann man allerdings vermuten, dass alle Summanden unterschiedlich sein sollen und das vergessen wurde, im Aufgabentext zu sagen. Dann sollten etwas ältere Schüler und geniale 5-jährige das lösen können.

Idee: Von den möglichen Summanden 1,2, ..., 12 müssen zwei fehlen, deren Summe 14 ist.

08.07.2020, 10:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
dass alle Summanden unterschiedlich sein sollen und das vergessen wurde, im Aufgabentext zu sagen.

Ein winziger Unterschied in der Formulierung mit drastischen Auswirkungen auf den Aufwand. Augenzwinkern

08.07.2020, 10:52

Antezedenz

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RE: Partition von 64 in 10 Summanden, davon keiner grösser als 12

Zitat:

Original von Huggy
Aus dem Titel des Buches kann man allerdings vermuten, dass alle Summanden unterschiedlich sein sollen und das vergessen wurde, im Aufgabentext zu sagen. Dann sollten etwas ältere Schüler und geniale 5-jährige das lösen können.

Idee: Von den möglichen Summanden 1,2, ..., 12 müssen zwei fehlen, deren Summe 14 ist.

Danke für die Antwort smile

Aber nachdem das Aufgabenniveau in dem Buch teilweise durchaus hoch ist, gehe ich davon aus, dass die Aufgabe tatsächlich so gemeint ist wie abgedruckt. Zumindest in der englischen Variante ist die Aufgabe auch so abgedruckt, hier die Links zur deutschen und die englischen Ausgabe (weitere Sprachen sind auch auf imaginary.org). Die Aufgabe ist Nr. 15.

https://imaginary.org/sites/default/files/5to15_de_de.pdf

https://imaginary.org/background-materia...ok-from-5-to-15

08.07.2020, 11:00

HAL 9000

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Sei mit $\begin{eqnarray*} P(n,k,l) \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Zerlegungen von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Summe von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ positive Summanden, von denen alle $\begin{eqnarray*} \leq l \end{eqnarray*}$ sind. Dann ist $\begin{eqnarray*} P(n,k,l) = \sum_{j=1}^l P(n-j,k-1,j) \end{eqnarray*}$ mit den Randwerten (Abbruchkriterien)

$\begin{eqnarray*} P(n,k,l) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n<k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n>kl \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} P(n,1,l) = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq n\leq l \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich das von Antezedenz genannte $\begin{eqnarray*} P(64,10,12)=9673 \end{eqnarray*}$ . Wie man das allerdings ohne rechentechnische Unterstützung in vernünftiger Zeit bewältigen soll, ist mir ein Rätsel. verwirrt

Die Variante von Huggy, dass sämtliche Summanden verschieden sein müssen, lässt sich mit der gleichen Funktion ausdrücken als $\begin{eqnarray*} P\left(n-\frac{k(k-1)}{2},k,l-k+1\right) \end{eqnarray*}$ , im vorliegenden Fall also $\begin{eqnarray*} P(19,10,3)=5 \end{eqnarray*}$ . Ist natürlich gegenüber dem viel einfacheren Lösungsgedanken von Huggy völlig überzogen, eben mehr auf den allgemeinen Fall ausgerichtet.

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