Warum ist eine Fläche anscheinend unabhängig vom Umfang?

08.07.2020, 10:32	Matherentner	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist eine Fläche anscheinend unabhängig vom Umfang? Meine Frage: Die Fläche eines Rechtecks ist doch immer axb=x qm usw.. Nehme ich also 3x1=3 qm und 2x2=4qm. Bei beiden Ansätzen ist der Umfang 8m. Aber wie kann es sein, dass bei gleichem Umfang unterschiedliche Flächengrößen entstehen? Meine Ideen: Die Aufgabe stammt aus der 5. Klasse meiner Tochter. Es geht um ein Seil mit 8m Länge und alles was ich versucht habe, ergibt immer eine andere Fläche und das verstehe ich nicht. Wie kann es denn sein, dass der gegebene Umfang stets einen anderen Flächeninhalt ergibt? Ich ging bis heute davon aus, dass es doch immer dieselbe Fläche hätte ergeben müssen, egal wie man die Seiten verteilt bei den vorgegebenen 8m...? Stehe total auf dem Schlauch-bitte helft mir-wie steh ich denn sonst da vor meiner Tochter ;-( Vielen Dank!
08.07.2020, 10:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist eine Fläche scheinbar unabhängig vom Umfang? Der Umfang und Fläche stehen in nur eine schwacher Beziehung zueinander. Das kannst du auch recht anschaulich ausprobieren: Nimm dir ein ein "Blatt" mit 3x1 und es hat dann 3 qm. Zerschneide es in 3 Mal 1x1 Quadrate. Die Quadrate haben jeweils einen Umfang von 4 und zusammen somit einen Umfang von 12. Mehr als vorher. Aber die Fläche hat sich durch das zerschneiden nicht geändert. Kurz: Man kann eine Figur mit beliebig großem Umfang und beliebig kleiner Fläche konstruieren. Interessant ist, dass es umgekehrte nicht funktioniert. Man kann keine große Fläche mit kleinem Umfang haben. Das ist eng verwandt mit dem isoperimetrische Problem: Bei gegebenem Umfang, was ist die flächengrößte Figur, welche man bauen kann. Die Antwort ist ein Kreis.
08.07.2020, 10:58	G080720	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist eine Fläche scheinbar unabhängig vom Umfang? Umfang U(x,y) = 2(x+y) Der Umfang U sei gegeben. Dann gilt: U=2(x+y) nach y umgestellt ergibt sich: y= U/2 -x Das ist eine lineare Funktion/Gerade. Je nach Wahl von x, ergibt sich ein anderes y. Der Umfang bleibt dabei immer gleich. Es gibt unendliche viele Punkte auf dieser Geraden d.h. es gibt unendlich viele Paare (x,y), mit denen man denselben Umfang erzeugen kann.
08.07.2020, 16:01	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum ist eine Fläche scheinbar unabhängig vom Umfang? Die Sache mit der 8 Meter langen Schnur kann man doch ganz einfach selber ausprobieren und ANSCHAUEN ! Nimm eine solche Schnur, knote ihre Enden zusammen und spanne dann (unter Mithilfe deiner Tochter) unterschiedliche Rechtecke mit dieser Schnur als Umfangslinie auf ! Das flächengrößte Rechteck, das man so erzeugen kann, ist das Quadrat mit der Seitenlänge a = 8m / 4 = 2m und also dem Flächeninhalt 2m x 2m = 4 Quadratmeter. Das "Rechteck" mit kleinstem Flächeninhalt hat anstatt 4 Eckpunkte nur noch zwei (wegen A=D und B=C , die Länge 4m und die Breite 0m und deshalb den Flächeninhalt 4m x 0m = 0 Quadratmeter . Alle zwischen 0 und 4 Quadratmeter liegenden Flächeninhalte sind möglich.

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