Liminf, limsup von (a_n+1 / a_n) bzw. von n-ter Wurzel von a_n

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mr.sacharias Auf diesen Beitrag antworten »
Liminf, limsup von (a_n+1 / a_n) bzw. von n-ter Wurzel von a_n
Meine Frage:
Hallo, ich sitze vor folgendem Problem.

Sei (a_n) eine Folge mit a_n > 0 für alle n. Dann gilt:

[latex]
\liminf\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq
\liminf\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \leq
\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} \leq
\limsup\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}
[\latex]

Mir stehen beide Definitionen des Limes superior / inferior zur Verfügung, d.h.
als größter / kleinster Häufungspunkt der Folge sowie als Grenzwert des Supremums / Infimums aller "hinteren" Folgenglieder.

Meine Ideen:
Die Folge ist nach unten durch 0 beschränkt, also ist auch die Quotienten- sowie die Wurzelfolge nach unten durch 0 beschränkt. D.h. das [latex]\liminf\limits_{n \to \infty} > -\infty[\latex].

Ist die Folge irgendwie monoton (streng, steigend oder fallend) und besteht diese nur aus einer Bildungsvorschrift, dann müsste gelten: [latex]\liminf\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = limsup\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}. Interessant sind also eher alternierende Folgen bzw. Folgen, die aus mehreren Vorschriften zusammengesetzt sind.

Aus [latex]\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \sqrt[n]{a_{n}}[\latex] die Ungleichung zu folgern, kann auch nicht zielführend sein, schaut man sich die ganze Ungleichungskette an, obwohl hier auch zu bedenken ist, dass das nicht für fast alle sondern "nur" für unendlich viele Folgenglieder der Fall sein muss.

Vielleicht lässt sich irgenwie zeigen, dass [latex]\forall n_{0} \in \mathbb{N} \exists n \geq n_{0}: \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \sqrt[n]{a_n} \leftrightarrow a_{n+1}^{n} \leq a_{n}^{n+1}[\latex]

Ich weiß nur nicht, wie ich dahin komme, wäre für jeden Denkanstoß dankbar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sei sowie . Zu beweisen wäre

sowie

,

denn die mittlere Ungleichung ist eh klar.

Im Fall ist (1) ohnehin klar. Für finden wir für alle einen Index mit für alle .

Das bedeutet (per Induktion) und damit für dessen -te Wurzel .

Der Faktor rechts konvergiert für gegen 1, so dass folgt, und das für all diese ...


Ähnlich geht man bei (2) vor, nur dort mit .
mr.sacharias Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, hab's nachvollzogen. Danke für die schnelle Antwort
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