Integrierbare Funktionsfolge

08.07.2020, 16:35	nerdno1	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrierbare Funktionsfolge Meine Frage: Hallo, weiss hier nicht, wie ich das zeige. Meine Ideen: Über ein Hinweis wäre ich froh.
08.07.2020, 16:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache Abschätzungen des Integranden nach unten reichen: Im Integrationsintervall ist $\begin{eqnarray} x^{2n}\leq 1 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} e^{-x^{2n}}\geq e^{-1} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ ist dort zudem $\begin{eqnarray} \left\| \frac{\pi}{2n}x\right\|\leq \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \cos\left(\frac{\pi}{2n}x \right)\geq \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ . Es folgt $\begin{eqnarray} \int\limits_{-1}^1 f_n(x) ~ \dd x = 2 \int\limits_0^1 f_n(x) ~ \dd x \geq \sqrt{2} e^{-1} \int\limits_0^1 x^{-1+\frac{1}{n}} ~ \dd x = \sqrt{2} e^{-1}\cdot n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ , damit bekommen wir $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \int\limits_{-1}^1 f_n(x) ~ \dd x = \infty \end{eqnarray}$ .
08.07.2020, 17:56	nerdno1	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die Abschätzungen wäre ich nicht gekommen, vielen Dank für die Hilfe

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