Surjektivität von x³+2x beweisen

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Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität von x³+2x beweisen
Hi
Ich habe bewiesen dass die Funktion
Z13 -> Z13, x -> x³+2x (modulo 13 also)
surjektiv ist mit:

f(x)=x³+2x = 0 mod 13

das habe ich umgeformt, bis ich x und x² raushatte mit:

x(x²+2)=0

dann x=0 oder x²+2=0 mod 13 | -2 => x²=11

da wir also ein x element von Z13, und zwar 0 haben,
gilt die Gleichung 11x=0

Was denkt ihr, ist alles soweit korrekt umsetzbar?
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität von x³+2x beweisen
Mir ist nicht klar, wie deine Beweisidee aussieht. Warum betrachtest du die Gleichung ? Wieso dann ?
Die genannte Funktion ist nicht injektiv, kann also nicht surjektiv sein.
Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität von x³+2x beweisen
"Der Ring Zn kann verstanden werden als Ring über der Menge {0, 1, . . . , n- 1}, dessen Addition und Multiplikation definiert wird, in dem man die Zahlen nimmt, diese addiert beziehungsweise multipliziert und das
Ergbnis – wenn nötig – modulo n betrachtet"

So hieß es bei uns in den Hausaufgaben...
auf die 11x bin ich gekommen, indem ich bei
x²+2 = 0 minus 2 gerechnet, das modulo 13 genommen = 11

also ist x² = 11

x(11+2) = ICH KORRIGIERE 13x=0

so weiter..

"da wir also ein x element von Z13, und zwar 0 haben,
gilt die Gleichung 13x=0

Was denkt ihr, ist alles soweit korrekt umsetzbar?"

Ich sehe über den Graphen auch dass sie surjektiv ist, aber ich kriegs nicht bewiesen mathematisch..
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität von x³+2x beweisen
Zn verstehe ich, wie du auf kommst auch noch, aber nochmal: Warum betrachtest du überhaupt die Gleichung ?
Die Gleichung gilt doch mod 13 immer verwirrt

Zitat:
ch sehe über den Graphen auch dass sie surjektiv ist,

Für welches x ist denn ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wo siehst du hier über den Graphen, dass diese Funktion surjektiv ist ? Offenbar ist sie das nicht.
Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis das Bild hat mir geholfen.

Als Beweis wäre dann doch geeignet y=2 zu nehmen oder?:

x^3 + 2x = 2 mod13
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

2,4,9,11 sind nicht im Bild von f, also ist f nicht surjektiv. Das ist eine Tatsache, da gibt es nichts mehr zu beweisen. Das ist ein Tatsachenbeweis. Augenzwinkern

URL hat auch schon gesagt, dass f nicht injektiv ist. 6 und 7 werden jeweils 3 mal von f angenommen. Also ist f nicht injektiv, auch das ist eine Tatsache. Lemma: Eine Funktion auf einer endlichen Menge ist genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist. Nicht injektiv, also nicht surjektiv. Das ist ein Beweis, der logisch aus dem Lemma folgt.
Martin1999 Auf diesen Beitrag antworten »

Lemma: Eine Funktion auf einer endlichen Menge ist genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist'

Wo finde ich diese Regel oder diesen Satz?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der Mengenlehre. Beweis als Übung. Augenzwinkern
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Das "Lemma" ist leider falsch bzw. unvollständig formuliert.

Korrekt formuliert wäre es z.B. so:

Eine Funktion , welche eine endliche Menge in sich selber abbildet, ist genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht auch , wenn M und N endliche Mengen mit gleicher Anzahl von Elementen sind.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@rumar
Das Lemma war für diese Aufgabe formuliert, wo es um eine Selbstabbildung einer endlichen Menge M in sich geht. Eine Relation auf einer Menge M ist eine Teilmenge von MxM. Eine Funktion f=(M,M,G(f)) auf einer Menge M kann man als Graphen der Funktion, also als Relation auf M betrachten. Das kann man nur missverstehen, wenn man das unbedingt will.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Das "Lemma" war so formuliert:

Zitat:
Lemma: Eine Funktion auf einer endlichen Menge ist genau dann surjektiv, wenn sie injektiv ist'

- ohne Bezug auf eine bestimmte Aufgabe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es, und dieses Lemma kann man leicht beweisen und für diese Aufgabe benutzen, weil man in dieser Aufgabe eine Funktion auf einer Menge hat. Hast du immer noch Probleme, diese simplen Aussagen zu verstehen ? Denk drüber nach, das kann nicht zu schwer für dich sein.
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