Was ist die Zähldichte?

08.07.2020, 21:36	jonsnow	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist die Zähldichte? Meine Frage: Was ist genau die Zähldichte ? Ich sitze gerade an verschiedenen Aufgaben über die Zähldichte. Jedoch sind diese so unterschiedlich gestellt und auch "gezeigt", dass ich verwirrt bin. Zum einen werden X und Y Achseln genutzt und zum anderen Tabellen für Würfelwürfe. Meine Ideen: Nach meiner Auffassung ist die Zähldichte, die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses IN einem Ereignis, die auch eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet bekommen hat, sprich : Die Zähldichte kann auch nur in einem Wahrscheinlichkeitsraum (OMEGA,SIGMA ALGEBRA, Wahrscheinlichkeitsmaß) existieren. Ist das korrekt ? Falls nicht, was ist denn genau diese "Zähldichte" kurz und kompakt ? Kann wer es an einem Beispiel aufzeigen ? Am besten auch mit X und Y Achseln etc. Vielen Dank !
08.07.2020, 22:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zähldichte macht nur Sinn für diskrete Wahrscheinlichkeitsräume, d.h. mit höchstens abzählbaren $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ und wo die Sigma-Algebra gleich der Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist. Dort wird das W-Maß $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ vollständig beschrieben durch die Einzelwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} P(\{\omega\}) =: f(\omega) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ , und jenes $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bezeichnet man dann eben als Zähldichte. Im maßtheoretischen Sinne ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die Radon-Nikodym-Dichte von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ bzgl. des Zählmaßes $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} \mu(A) = \|A\| \end{eqnarray}$ ), d.h., $\begin{eqnarray} f = \frac{\dd P}{\dd\mu} \end{eqnarray}$ , daher auch der Name.
08.07.2020, 22:56	jonsnow	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Also ist die Zähldichte die Funktion bspw. 1 durch \|OMEGA\| ( Laplace Raum ) der Ergebnisse ? Was meinen Sie genau mit "Dort wird das W-Maß P vollständig beschrieben durch die Einzelwahrscheinlichkeiten" ? Etwa, dass man die Zähldichte nimmt und einfach es gegen \|A\| eintauscht ? Bspw. im Laplace Raum -> Zähldichte = 1/ Kardinalität OMEGA -> W-Maß für Ereignisse A = Kardinalität A / Kardinalität OMEGA ?
08.07.2020, 23:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht nicht nur um Laplacesche W-Räume, sondern ALLE diskreten W-Räume, das sind viiiel mehr! Lies nochmal genau durch, was ich geschrieben habe. Und wenn dir der maßtheoretische letzte Absatz nichts sagt, dann denk ihn dir weg.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »