Schätzen von Parabel-Parametern anhand von Messwerten

09.07.2020, 10:54

MatheKind

Schätzen von Parabel-Parametern anhand von Messwerten

Hallo,

ich möchte gerne Messwerte, die einer auf dem Kopf stehenden Parabel ähneln, fitten.
Ich nutze dafür die C-Bibliothek lmfit. Hierfür muss man allerdings Startwerte für die Parabel-Parameter übergeben und wenn die Startwerte schlecht sind, dann kann es sein, dass Blödsinn herauskommt.

Nun würde ich gerne herausfinden, wie ich an gute Startwerte herankomme.

Wenn die Parabelfunktion folgendermaßen aussieht:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a*x^2 + b*x + c \end{eqnarray*}$

Dann kann ich sagen, dass wenn die Parabel auf dem Kopf steht und alle Funktionswerte positiv sind, dass dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ negativ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wahrscheinlich positiv ist. Über $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bin ich mir im unklaren.
Das ist schon mal kein schlechter Anfang, aber das reicht nicht immer aus. Kann man das noch besser eingrenzen, auch was die Größenordnung angeht?

Danke im Voraus.
MatheKind

09.07.2020, 11:20

Huggy

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RE: Schätzen von Parabel-Parametern anhand von Messwerten
Schätze die Parameter der Parabel mit der Methode der kleinsten Quadrate. Da brauchst du keine Anfangswerte.

09.07.2020, 11:32

HAL 9000

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Diese MKQ kann man in den Kontext "Multiple Lineare Regression" einbetten, so wie hier für Polynomgrad 6 beschrieben. Du hier benötigst nur Grad 2, was die Matrixdimension schon mal auf 3x3 reduziert.

09.07.2020, 12:41

MatheKind

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Zitat:

Original von HAL 9000
Diese MKQ kann man in den Kontext "Multiple Lineare Regression" einbetten, so wie hier für Polynomgrad 6 beschrieben. Du hier benötigst nur Grad 2, was die Matrixdimension schon mal auf 3x3 reduziert.

Das werde ich mal ausprobieren, vielen Dank!!! smile

Liebe Grüße,
MatheKind

09.07.2020, 12:46

Huggy

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Auch wenn ich kein C-Programmierer bin, vermute ich stark, dass man dafür in C-Bibliotheken ein fertiges Programm findet.

09.07.2020, 14:08

HAL 9000

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Gut möglich. Aber auch mit nur einer gewöhnlichen LinAlg-Bibliothek ist der Programmieraufwand für $\begin{eqnarray*} \left(X^T X\right)^{-1} X^T y \end{eqnarray*}$ noch sehr überschaubar.

09.07.2020, 14:23

MatheKind

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Super, das hat geklappt, vielen Dank!!! smile

Zum Lösen von $\begin{eqnarray*} \left(X^T X\right)^{-1} X^T y \end{eqnarray*}$ habe ich OpenCV benutzt, da ich diese Bibliothek sowieso benutze. Von daher brauche ich kein lmfit mehr, da das Overkill ist. lmfit fittet nämlich jede beliebige Funktion die man übergibt.

09.07.2020, 18:32

MatheKind

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Ich mache gerade die Erfahrung von numerischen Instabilitäten. Bei kleinen x-Werten (und großen y-Werten?), bekomme ich vollkommenen Unsinn heraus.
Gibt es einen Trick, wie ich das Problem umgehen kann?

09.07.2020, 21:38

MatheKind

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Ich habe bei einer numpy-Bibliothek gelesen, dass man für eine bessere numerische Stabilität den X-Vektor zentrieren sollte, in dem man den Mittelwert abzieht:

$\begin{eqnarray*} X_{centered} = X - \overline{X} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun, wie ich die gefitteten Parameter anpassen muss, damit ich dieselben Parameter zurückbekomme als wenn ich nicht vorher zentriert hätte.

Jemand eine Idee? verwirrt

10.07.2020, 08:51

Steffen Bühler

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Das sollte doch zu schaffen sein:

$\begin{eqnarray*} a \cdot (x-\overline x)^2 + b \cdot (x-\overline x) + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =a \cdot x^2 -2 \cdot a \cdot \overline x \cdot x +b \cdot x + a \cdot \overline x^2 - b \cdot \overline x + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \dots \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

10.07.2020, 10:43

HAL 9000

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Das ist generell zu empfehlen, wenn die Spreizung der x-Daten (etwa charakterisiert durch deren Standardabweichung) um Größenordnungen kleiner ist als die absolute Lage (etwa charakterisiert durch deren Mittelwert).

Das Problem wird auch umso größer, wenn man mit ungenauerer Arithmetik (etwa nur 32Bit-Single-Floating Point) arbeitet. Da ist dann die genannte Zentrierung dann dringend anratsam.

10.07.2020, 10:57

MatheKind

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das ist generell zu empfehlen, wenn die Spreizung der x-Daten (etwa charakterisiert durch deren Standardabweichung) um Größenordnungen kleiner ist als die absolute Lage (etwa charakterisiert durch deren Mittelwert).

Das Problem wird auch umso größer, wenn man mit ungenauerer Arithmetik (etwa nur 32Bit-Single-Floating Point) arbeitet. Da ist dann die genannte Zentrierung dann dringend anratsam.

Alternativ könnte ich aber auch die X-Werte mit einem größeren Faktor skalieren. Das vergrößert ja ebenfalls die Spreizung. Oder irre ich mich da?

@Steffen Bühler: Danke, das werde ich mir mal anschauen. smile

10.07.2020, 10:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheKind
Alternativ könnte ich aber auch die X-Werte mit einem größeren Faktor skalieren. Das vergrößert ja ebenfalls die Spreizung.

Und im gleichen Maße den Mittelwert... Nein, bloßes Multiplizieren löst das Problem nicht. unglücklich

10.07.2020, 11:40

MatheKind

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@HAL 9000 Da hast du recht. Erstaunt2

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Das sollte doch zu schaffen sein:

$\begin{eqnarray*} a \cdot (x-\overline x)^2 + b \cdot (x-\overline x) + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =a \cdot x^2 -2 \cdot a \cdot \overline x \cdot x +b \cdot x + a \cdot \overline x^2 - b \cdot \overline x + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \dots \end{eqnarray*}$

Mir ist nicht klar, wie sich das verallgemeinern ließe, so dass ich für jedes Polynom die korrigierten Parameter-Werte zurückgeben kann.

10.07.2020, 13:07

Steffen Bühler

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$\begin{eqnarray*} a \cdot x^2 -2 \cdot a \cdot \overline x \cdot x +b \cdot x + a \cdot \overline x^2 - b \cdot \overline x + c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =a \cdot x^2 + \big(b -2 \cdot a \cdot \overline x \big) \cdot x + \big( a \cdot \overline x^2 - b \cdot \overline x + c \big) \end{eqnarray*}$

Also gilt bei $\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ für die zu korrigierenden Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_{korr} = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{korr} = b -2 \cdot a \cdot \overline x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{korr} = a \cdot \overline x^2 - b \cdot \overline x + c \end{eqnarray*}$

10.07.2020, 13:42

HAL 9000

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Eigentlich ist es so, dass man auch die Rechnungen mit der fertigen Parabel besser im verschobenen Koordinatensystem durchführen sollte, denn das Numerikproblem durch Auslöschung besteht ja dort auch:

Man hat also wenig gewonnen, wenn man zwar die Regression numerisch stabil bis hin zu den Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ geführt hat, es aber anschließend durch die Rechnung

$\begin{eqnarray*} y(x) = a_{korr}x^2 + b_{korr}x + c_{korr} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y(x) = a(x-\bar{x})^2 + b(x-\bar{x}) + c \end{eqnarray*}$

numerisch wieder "versaut". smile

10.07.2020, 14:20

MatheKind

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von MatheKind
Alternativ könnte ich aber auch die X-Werte mit einem größeren Faktor skalieren. Das vergrößert ja ebenfalls die Spreizung.

Und im gleichen Maße den Mittelwert... Nein, bloßes Multiplizieren löst das Problem nicht. unglücklich

Also ich kann rein praktisch sagen, dass Skalieren massiv(!) hilft! Viel besser als zentrieren!
Ich halte das auch für einleuchtend, denn ich hatte gelernt, dass wenn durch kleine Zahlen geteilt wird, der Fehler schnell wächst. Teilt man durch große Zahlen, dann sinkt der Fehler (oder er wächst nicht so schnell. Eins von beiden). Da ja man die Inverse von X berechnet, ist das ja wie ein Teilen. Oder habe ich da etwas falsch verstanden?

Man muss dann beim Zurückrechnen der Parameter wieder skalieren mit $\begin{eqnarray*} k^t \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der Skalierungsfaktor ist und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Potenz des Parameters.

10.07.2020, 14:22

MatheKind

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Zitat:

Also gilt bei $\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ für die zu korrigierenden Parameter $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ :
...

Danke, das schaue ich mir Zuhause mal genauer an. Der Einwand von HAL 9000 gibt mir aber zu bedenken. verwirrt

EDIT: Eigentlich meinte ich eine Verallgemeinerung eines Poynoms k-ten Grades. Ich will den Algorithmus nämlich allgemein implementieren.

10.07.2020, 14:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheKind
Also ich kann rein praktisch sagen, dass Skalieren massiv(!) hilft!

Bei Verwendung von Floating-Point-Zahlen muss ich diese Aussage als reinsten Humbug klassifizieren. Falls du natürlich mit Festkomma- oder Integerzahlen rechnest, dann kann was dran sein - aber das hatte ich nicht angenommen.

10.07.2020, 14:35

MatheKind

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von MatheKind
Also ich kann rein praktisch sagen, dass Skalieren massiv(!) hilft!

Ich verwende double-Werte und ich kann das rein praktisch nachvollziehen.
Was ist mit meiner Begründung, die ich geliefert habe? Teilen durch kleine Zahlen vs. Teilen durch große Zahlen.

10.07.2020, 14:37

HAL 9000

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Reines Skalieren bringt hier numerisch gar nichts. Den einzigen Sinn von Skalieren würde ich darin sehen, wenn man sich mit den Werten gefährlich nahe den Bereichsgrenzen des jeweiligen Datenformats nähert (das ist bei 32Bit-Single ca. $\begin{eqnarray*} 10^{38} \end{eqnarray*}$ ), und das muss man auch für die Zwischenwerte wie die $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ beachten.

Bei 64Bit-Double muss man schon mit sehr exotischen Werten hantieren, dass man sich der Grenze $\begin{eqnarray*} 10^{308} \end{eqnarray*}$ gefährlich nähert.

Wenn du aber in deinen Code irgendwelchen Unfug wie solche absoluten Vergleiche eingebaut hast, dann können natürlich die seltsamsten Dinge passieren. Aber sowas macht man ja vernünftigerweise auch nicht. Augenzwinkern

10.07.2020, 14:52

MatheKind

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Zitat:

Original von HAL 9000
Reines Skalieren bringt hier numerisch gar nichts.

Möglicherweise hast du recht, aber ich kann das Ergebnis andererseits nicht ignorieren. Ich habe keine Ahnung, was cv::solve() von OpenCV alles macht, damit sich das so verhält. Schreibe ich die Formel übrigens explizit hin, verhält sich das noch instabiler.
Letztendlich bin ich Informatiker und kein Mathematiker... Was hast du studiert, wenn ich fragen darf?

PS: $\begin{eqnarray*} \frac{\bar{x}}{s_x} \end{eqnarray*}$ habe ich nun umgesetzt, aber das ändert nichts am Verhalten.

10.07.2020, 14:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheKind
Was hast du studiert, wenn ich fragen darf?

Mathematik, arbeite aber seit 15 Jahren im wesentlichen als Software-Ingenieur. Ich weiß also, wovon ich spreche.

10.07.2020, 16:14

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von MatheKind
Also ich kann rein praktisch sagen, dass Skalieren massiv(!) hilft! Viel besser als zentrieren!

Wenn das Dein Problem ist, mußt Du etwas falsch gemacht haben. Wichtig ist hier, daß Du die Parabel danach auswertest, wo ihr Extrempunkt liegt. $\begin{eqnarray*} x_e=f(a,b), y_e=g(a,b,c) \end{eqnarray*}$ . Wenn Du die Werte zentrierst, also von allen an der Parabel beteiligten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werten den Wert $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ abziehst, dann liegt der Extrempunkt um den Wert $\begin{eqnarray*} x_m \end{eqnarray*}$ nach links verschoben.

Man muß sich außerdem überlegen, wieviele Punkte man zum Fitten einsetzt. Nimmt man zu viele, wird man dadurch ungenau. Um das Ergebnis zu prüfen, schaue ich mir Daten nebst Fitparabel und Extemwert an. Das ist wichtig, weil ein Fehler alles nur schlimmer macht.

Du kannst ja ein paar Probedaten hier einstellen.

10.07.2020, 20:42

MatheKind

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau

Zitat:

Original von MatheKind
Also ich kann rein praktisch sagen, dass Skalieren massiv(!) hilft! Viel besser als zentrieren!

Das ist mir bekannt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a*x^2 + b*x + c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2*a*x + b = 0 \Rightarrow x_{e} = \frac{-b}{2*a} \end{eqnarray*}$

Wenn der Mittelwert abgezogen wurde, dann:
$\begin{eqnarray*} x_{e} = \frac{-b}{2*a} + \bar{x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Man muß sich außerdem überlegen, wieviele Punkte man zum Fitten einsetzt. Nimmt man zu viele, wird man dadurch ungenau. Um das Ergebnis zu prüfen, schaue ich mir Daten nebst Fitparabel und Extemwert an. Das ist wichtig, weil ein Fehler alles nur schlimmer macht.

Du kannst ja ein paar Probedaten hier einstellen.

Den Optimalfall will ich erst mal nicht testen, sondern erst mal nur, wie stabil das Verfahren ist.
Die Dinge sind folgende:
- Das Fitting funktioniert ja für viele Beispiele ziemlich gut, aber es gibt ein Beispiel, wo das nicht funktioniert. Hier liegen die X-Werte irgendwo im Bereich von $\begin{eqnarray*} 10^{-8} \end{eqnarray*}$ , wenn ich das richtig in Erinnerung habe. Die y-Werte liegen im Bereich von $\begin{eqnarray*} 10^3 \end{eqnarray*}$ . Und es kommt vollkommener Quatsch heraus, was aussieht wie eine Gerade.

- Verwende ich beim besagten Beispiel statt OpenCV die GNU Scientific Library (aufgrund der GPL-Lizenz darf ich die aber nicht verwenden), erhalte ich die korrekten Werte. Im Falle von OpenCV wird beim besagten Beispiel nur dann richtig gerechnet, wenn ich den X-Vektor um den Faktor 10.000 skaliere und die gefitteten Parameter um diesen Faktor wieder skaliere (wie oben beschrieben. Der Anwender meiner Funktion soll nämlich davon nichts wissen).

Das besagte Signal kann ich evtl. am Montag hochladen, wenn mir das mein Vorgesetzter erlaubt.

10.07.2020, 23:16

Ulrich Ruhnau

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Wir brauchen x- und y-Werte in Textform z.B. als Textdatei.

11.07.2020, 11:29

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von MatheKind
Das besagte Signal kann ich evtl. am Montag hochladen, wenn mir das mein Vorgesetzter erlaubt.

Dir ist schon klar, dass das hier dann also eine gewerbliche Nutzung des Matheboards ist? Aus unseren Nutzungsbedingungen:

Zitat:

Das Angebot ist nur zur privaten Nutzung freigegeben. Eine gewerbliche Nutzung bedarf immer einer vorherigen Abstimmung und schriftlichen Genehmigung der Symptoma GmbH. Eine Nutzung des Angebots erfolgt immer auf eigene Gefahr, für die angebotenen Informationen übernimmt die Symptoma GmbH keine Verantwortung.

Oder hast Du das mit den Betreibern abgestimmt?

11.07.2020, 13:54

MatheKind

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Oder hast Du das mit den Betreibern abgestimmt?

In dem Fall würde ich evtl. ein Ticket beim OpenCV-Projekt eröffnen. Aber letztendlich ist das ja eine freiwillige Arbeit der Community. verwirrt

11.07.2020, 14:21

Steffen Bühler

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Nein, es geht um dieses Board, das Du, spitzfindig ausgedrückt, verwendest, damit Dein Arbeitgeber Geld verdient. Der Parabelfit optimiert vielleicht irgendeinen Prozess, das spart Zeit und ist damit ein unversteuerter geldwerter Vorteil.

Wir sehen das, soviel ich weiß, normalerweise nicht so eng, aber es sollte Dir bewusst sein. Wie gesagt, kläre das eventuell mit den Admins ab.

13.07.2020, 08:32

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Oder hast Du das mit den Betreibern abgestimmt?

Steffen, was soll das? geschockt

Hier fragt Mathekind etwas ohne dafür Geld zu bezahlen. Damit steht die private Nutzung außer Zweifel. Ob Mathekind seine Erkenntnisse nach Befragung von Matheboard für seinen Beruf nutzt, ist doch nicht wichtig. Auch die Schüler, welche Matheboard nutzen, werden später ihre hier erworbenen Kenntnisse kommerziell einsetzen. Die von Dir zitierten Regeln sollen nur sicherstellen, daß sich niemand hier seine Dienstleistungen bezahlen läßt.

13.07.2020, 08:32

Thomas

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Geht aus meiner Sicht in Ordnung. Wink

13.07.2020, 10:33

MatheKind

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Anbei findet ihr das Signal.
Achtung: Die erste Spalte ist das Signal und die zweite die Position.
Die Position muss noch beim Einlesen durch 1'000'000'000 geteilt werden.

Die korrekten Parameter sollten ungefähr in diesem Bereich liegen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax² + bx + c \end{eqnarray*}$

a: -1,753501E+25
b: 5,052680E+17
c: -3,639784E+09

Den C++ Code findet ihr hier:

https://github.com/opencv/opencv/issues/17824

EDIT: Ich habe die Parameter kurz editiert. Also was herauskommen sollte. Im ursprünglichen Post, waren das noch die mit der falschen Skalierung.

13.07.2020, 11:46

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von MatheKind
Die korrekten Parameter sollten ungefähr in diesem Bereich liegen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax² + bx + c \end{eqnarray*}$

a: -1,753501E+41
b: 5,052680E+33
c: -3,639784E+09

Nein! In diesem Bereich liegen Deine Punkte bestimmt nicht. Ich habe Deine Werte mal analysiert. Man hat ungeordnete x-Werte von 14.38 bis 14.44 und ganzzahlige vierstellige y-Werte. Um die Daten zu lesen, muß man die Kommata durch Punkte ersetzen. In jeder Zeile stehen ein y-Wert, dann ein Semikolon und dann ein x-Wert. Zu schauen, was man da machen kann erfordert etwas Zeit.

Man könnte ein kompliziertes Programm schreiben, daß das ganze als Gaußkurve plus Gerade interpretiert. Oder man schreibt eine einfacheres Programm, das maximale y-Werte sucht und dort ein Polynom fittet. Damit werde ich mich beschäftigen, wenn ich dafür Zeit habe (heute, morgen, übermorgen).
[attach]51703[/attach]

13.07.2020, 12:11

MatheKind

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Nein! In diesem Bereich liegen Deine Punkte bestimmt nicht. Ich habe Deine Werte mal

Sorry, ich hatte zuerst falsche Parameter reinkopiert. Die kommen zustande, wenn ich nicht skaliere. Ich habe das nun korrigiert.
Das ist auch nur ein Test, den ich so in der Praxis nicht anwenden würde. Es geht mir viel mehr um einen Stresstest.

13.07.2020, 12:26

Nils Hoppenstedt

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Sieht eher nach einer Lorentzkurve aus.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lorentzkurve

13.07.2020, 13:54

MatheKind

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Hallo,
ich wollte nochmal anmerken, dass es mir hier nur um einen Stresstest meiner Polyfit-Funktion geht. smile

Skaliere ich die X-Werte nicht, bekomme ich als gefittetes Signal etwas, das wie eine Gerade aussieht:

a: -1,753501E+41
b: 5,052680E+33
c: -3,639784E+09

Skaliere ich die X-Werte mit 10.000 und korrigiere das dann wieder, erhalte ich folgende Parameter und das obige geplottete Fitting-Signal:

a: -1,753501E+25
b: 5,052680E+17
c: -3,639784E+09

Etwas kann also hier nicht stimmen und darum geht es mir letztendlich.

13.07.2020, 18:54

HAL 9000

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Die Mantissen scheinen zu stimmen, aber die 10er-Potenz-Exponenten sind bei $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ komplett durchgeknallt. Richtig ist mit deinen obigen Originaldaten

$\begin{eqnarray*} a= -1.753\cdot 10^7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= 5.053\cdot 10^8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = -3.640\cdot 10^9 \end{eqnarray*}$

Wie du auf die Exponenten 41/33 bzw. dann 25/17 kommst, ist mir unerklärlich. unglücklich

P.S.: Quadratische Funktion als Anpassung scheint hier wohl wirklich ziemlich ungeeignet zu sein.

13.07.2020, 21:24

MatheKind

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Mantissen scheinen zu stimmen, aber die 10er-Potenz-Exponenten sind bei $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ komplett durchgeknallt. Richtig ist mit deinen obigen Originaldaten

$\begin{eqnarray*} a= -1.753\cdot 10^7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= 5.053\cdot 10^8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = -3.640\cdot 10^9 \end{eqnarray*}$

Wie du auf die Exponenten 41/33 bzw. dann 25/17 kommst, ist mir unerklärlich. unglücklich

P.S.: Quadratische Funktion als Anpassung scheint hier wohl wirklich ziemlich ungeeignet zu sein.

Möglicherweise hast du die Positionsdaten nicht durch 1'000'000'000 geteilt.

PS: In der Praxis wird auch nur der Hut der Funktion gefittet. Also nicht die ganze Funktion.

13.07.2020, 22:26

HAL 9000

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Wenn man dich nicht beim Wort nehmen kann

Zitat:

Original von MatheKind
Skaliere ich die X-Werte nicht, bekomme ich als gefittetes Signal etwas, das wie eine Gerade aussieht:

a: -1,753501E+41
b: 5,052680E+33
c: -3,639784E+09

ist jede weitere Betrachtung sinnlos. Außerdem erklärt auch diese jetzt von dir aus dem Hut gezauberte Skalierung nicht diese bescheuerten Exponenten.

13.07.2020, 23:51

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von MatheKind
Sorry, ich hatte zuerst falsche Parameter reinkopiert. Die kommen zustande, wenn ich nicht skaliere. Ich habe das nun korrigiert.

Auch ohne Skalierung kann ich deinen zweiten Satz an Parametern ermitteln. Aber ich will hier auf etwas anderes hinaus. Wenn man die ganze Funktion mit 3100 Wertepaaren gut fitten möchte, dann ist ein Rationaler Polynomfit am besten. Mit einem Quotienten aus zwei Polynomen (gelb) von

$\begin{eqnarray*} y_r(x)=\frac{768.5515750274\,x^2-22137.0820802125\,x+ 159407.2639344080}{x^3 -43.109286838614\,x^2+619.466553666361\,x-2967.160645919407} \end{eqnarray*}$

gelingt zwar ein besserer Fit als mit einem Polynom, jedoch hätte man da immer noch das Problem, den Extrempunkt nicht einfach ermitteln zu können.

Praktikabler wäre es also, die Punkte in der Nähe des Maximums zu nehmen und dort eine Parabel zu fitten. Das habe ich gemacht und dabei das Polynom (rot) erhalten. Dazu mußte ich erst einmal die Punkte nach ihren x-Werten sortieren, dann das Wertepaar mit maximalem y bestimmen, dann 200 Punkte davor und dahinter nehmen und den Rest abschneiden. Der Fit durch 401 Punkte liefert mir die rote Parabel:

$\begin{eqnarray*} y_p(x)=(-0.024648985002373\,x^2 +0.710181240862321\,x-5.115394762569782)\cdot 10^{10} \end{eqnarray*}$

Das ergibt ein Maximum an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{\text{max}}=\frac{-b}{2a}=14.405892185701465 \end{eqnarray*}$ (vertikale Linie)
[attach]51716[/attach]

Fazit: Man kann die Daten so aufbereiten, daß ein Maximalwert ermittelt wird. Dazu muß man die Daten nach x-Werten sortieren, das y-Maximum suchen, und den Parabelfit auf eine Umgebung des y-Maximums beschränken.

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