Boxen, Münzen und ein Schlüssel

09.07.2020, 20:53

Dopap

Boxen, Münzen und ein Schlüssel

Im Gefängnis entstehen angeblich die besten Rätsel oder Fragen.

Ein Wärter mit Abitur hat drei Schachteln, hier mit 0,1,2 nummeriert mit je einer obenliegenden Münze. Zu A sagt er:
"Wenn du wiederkommst wirst du eine andere Münzbelegung vorfinden und ich werde den Schlüssel zur Freiheit vor deinen Augen in eine der Boxen legen".
"Anschließend musst du eine der Münzen umdrehen und darfst zurück in deine Zelle".
"Dein Kumpel B aus dem anderen Gefängnis-Flügel wird nun einbestellt und soll aufgrund der Münzlage die richtige Box zur Freilassung bestimmen".
"So und nun geh' zu B, erklär ihm alles und tüftelt gemeinsam ein Rezept aus wie du ihm insgeheim die Nummer der Box mit Schlüssel übermitteln willst"

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Box#} & 0 & 1 &2 \\\hline Box &\boxed K&\boxed Z &\boxed{Z} \end{array} \end{eqnarray*}$ oder : kann man in jeder der 8 Startpositionen durch Flippen von genau einer Münze die Zahl 0 oder 1 oder 2 übermitteln?
Überlegung:
Es gibt $\begin{eqnarray*} 3^8 \end{eqnarray*}$ Strategien jedenfalls in Spieltheorie. Jedem der 8 Knoten kann eine der 3 Folgekanten zugeordnet werden.
Wenn man die Münzseiten mit 0 und 1 identifiziert und die Münzen mit $\begin{eqnarray*} M_0, M_1,M_2\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ dann wäre z.B eine Regel wie z.B.
$\begin{eqnarray*} \text{Box#} = 0\cdot M_0+1\cdot M_1+2\cdot M_2\,\text{mod }3 \end{eqnarray*}$ eine feine Sache

leider funktioniert dieses Beispiel nicht immer, ist aber eines Versuches wert.
Im Ausblick stelle man sich einen Schrank mit vielen Schließ-Fächern vor.

10.07.2020, 06:01

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Boxen, Münzen und ein Schlüssel

Zitat:

Original von Dopap
"Anschließend musst du eine der Münzen umdrehen und darfst zurück in deine Zelle".

Schade, daß das Umdrehen einer Münze obligatorisch ist! Sonst hätte ich einen sicheren Weg gefunden. Mein Vorschlag:

A sagt zu B: "Du schaust dir alle Münzen der Schachteln von 0 bis 2 an. Wenn alle Münzen gleich sind, nimmst du die Schachtel 0. Sonst nimmst du diejenige Schachtel, wo die Münze das erste mal was anderes zeigt, als die Münze davor."

Wenn B auf diese Weise instruiert wurde, hat A meistens die Chance, eine Münze passend so zu drehen, daß A die richtige Schachtel findet. Falls jedoch von Anfang an alle Münzen das Gleiche zeigen, funktioniert das System nicht mehr. smile

10.07.2020, 09:35

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Boxen, Münzen und ein Schlüssel
Ich habe den kleinen Fehler korrigiert. Dopap was hältst Du nun von meiner Lösung?

10.07.2020, 10:17

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

000 =#0
001 ---> 000=#0
010 ---> 000=#0
011 ---> 111=#0
100 ---> 000=#0
101 ---> 111=#0
110 ---> 111=#0
111 = #0

000 ---> 010=#1
001 ---> 011 =#1
010 = #1
011 = #1
100 =#1
101 = #1
110 ---> 101 = #1
111 --->101 = #1

000 ---> 001 =#2
001=#2
010 --->110 =#2
011 ---> 001 =#2
100 ---> 110 =#2
101 ---> 001 =#2
110 =#2
111 ---> 110 =#2

Deine Strategie ist mMn eine Lösung der Variante der Aufgabe ohne Zugzwang Freude

Es funktioniert mMn immer !

10.07.2020, 13:26

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Boxen, Münzen und ein Schlüssel

Zitat:

Original von Dopap
kann man in jeder der 8 Startpositionen durch Flippen von genau einer Münze die Zahl 0 oder 1 oder 2 übermitteln?

Wenn eine solche Frage gestellt wird, vermutet man meistens, dass es eine raffinierte Lösung gibt. Im Moment habe ich aber den Eindruck, dass es hier keine Lösung gibt.

Begründung
Da es nur 8 Münzkonfigurationen gibt, können mindestens einer der Zahlen 0, 1, 2 nur 2 Münzkonfigurationen zugeordnet werden. Die Münzkonfigurationen kann man sich geometrisch als die Ecken eines (0,1)-Würfels vorstellen, d. h. eines Würfels, dessen Eckkoordinaten (x, y, z) nur aus den Zahlen 0 und 1 bestehen. Seien nun E1 und E2 die beiden Würfelecken, die allein einer der Zahlen 0, 1, 2 zugeordnet sind. Dann ist die Frage, kann man mindestens eine dieser beiden Ecken von jeder Ausgangsecke durch Umlegen von genau einer Münze erreichen?

Durch Umlegen einer Münze kann immer nur eine der Ausgangsecke benachbarte Ecke erreicht werden. Für die Zielecken E1 und E2 gibt es 3 Möglichkeiten:

- Sie sind benachbart.
- Sie liegen an den Enden einer Diagonale der Seitenfläche.
- Sie liegen an den Enden einer Raumdiagonale.

Für jeden der 3 Fälle findet man leicht Ausgangsecken, von denen keine der beiden Zielecken erreichbar ist.

Habe ich da etwas übersehen?

10.07.2020, 14:49

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ich war gerade am Schreiben:

Zitat:

Ein Sichtwechsel könnte hier helfen. [attach]51674[/attach]
Die Startpositionen von A kann man als Ecken des Einheitswürfels im Koordinatensystem des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ansehen.
Der Flip einer Münze als Bewegung entlang einer der 3 anliegenden Kante zur nächsten Ecke. Diese 3 Ecken sollen als Nachbarecken benannt sein.
Die Idee zur Visualisierung ist nun, Box# mit Farben zu belegen: Box# 0,1,2 = Blau, Gelb, Rot =B,G,R.

Damit reduziert sich das Problem zu:
Kann man die 8 Ecken derart in den Farben Blau, Gelb oder Rot einfärben, dass die 3 Nachbarecken einer jeden Ecke B,G und R sind.
-----> Von der Startposition = eine der Ecken kann man immer zu einer Nachbarecke von der gewünschten Farbe gelangen.
( Auch dann, wenn die Startecke schon die gewünschte Farbe hat, es besteht ja Zugzwang. )

und somit auf dem Wege zur selben Meinung, nämlich nicht.

10.07.2020, 19:56

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Why do mathematicians always set their puzzles in prisons?
Simple: min-maxing. You have maximum amount of time, minimum amount of distractions
and maximum motivation to solve the puzzle correctly.
smile

11.07.2020, 11:33

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

4 Boxen, 4 Münzen und ein Schlüssel
obige Überlegungen führen zum Schluss, dass Anzahl gleichfarbiger Ecken gleich sein muss und gleich der Dimension des Würfels ist, wenn ein Widerspruch vermieden werden soll.

$\begin{eqnarray*} 2^3\neq 3\cdot( \underbrace{\text{Anzahl Ecken einer beliebigen Farbe}}_{=:A_E(F)}) \end{eqnarray*}$

umgekehrt wird daraus ein Schuh und mit n=Würfeldimension folgt die notwendige Bedingung:

$\begin{eqnarray*} \qquad 2^n=n\cdot A_E(F)\qquad \end{eqnarray*}$ die nächste Lösung für die notwendige Bedingung ist $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ ,und damit bildlich

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c|c|c|c} \rm Farbe &(G)elb &(Bl)au & (R)ot&(S)chwarz\\ \hline \text{Box#} & 0 & 1 &2&3 \\\hline \rm Box &\boxed K&\boxed Z &\boxed{Z} &\boxed{K} \end{array} \end{eqnarray*}$

Demnach: die 16 Ecken eines Würfels der Dimension 4 sind gleichzahlig in den 4 Farben derart zu färben, dass jede Ecke genau 4 Nachbarecken in B,G,R,S hat.

Wie könnte das aussehen falls es möglich ist?

11.07.2020, 15:29

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 4 Boxen, 4 Münzen und ein Schlüssel

Zitat:

Original von Dopap
Wie könnte das aussehen falls es möglich ist?

Man kann z. B. der Kiste 0 die grünen Ecken zuordnen. Man sieht, dass von jeder Ecke des 4D-Würfels eine der grünen Ecken über eine Kante erreichbar ist.

[attach]51691[/attach]

Insgesamt kann die Zuordnung Ecken -> Kisten so aussehen:

[attach]51692[/attach]

11.07.2020, 17:39

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

hier sind sich bestimmt alle einig : Freude

12.07.2020, 14:21

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Strategiepapier
zu jedem Tupel $\begin{eqnarray*} ( M_0,M_1,M_2,M_3) \in \{0,1\}^4 \end{eqnarray*}$ gibt es genau 4 verschiedene Zuordnungen nach $\begin{eqnarray*} (0,1,2,3) \end{eqnarray*}$ durch Verknüpfung von $\begin{eqnarray*} M_i \,\text{XOR}\, 1 \qquad i=0..3 \end{eqnarray*}$ oder bildlich dem Flippen einer Münze.

Das gemeinsame Papier von Anton und Bernd könnte so aussehen:

Box#0, Blau

code:
1:	0101 , 1011, 0010, 1001

Box#1, Gelb

code:
1:	0101, 1011, 0010 ,1001

Box#2, Rot

code:
1:	0111, 1011, 0010, 1001

Box#3, Schwarz

code:
1:	1101, 1111, 0100 ,1110

( die Einträge sind nur symbolisch!, das richtige Ausfüllen gemäß obigen Bild von Huggy ist noch nicht gelungen )

1.) Anton bestimmt die Farbe der Startposition und flippt dann zur gewünschten Farbe, auch dann, wenn diese
schon von der richtigen Farbe ist. (Zugzwang)

2.) Bernd liest die Box# oder Farbe aus der Tabelle ab.

12.07.2020, 15:46

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Strategiepapier

Zitat:

Original von Dopap
( die Einträge sind nur symbolisch!, das richtige Ausfüllen gemäß obigen Bild von Huggy ist noch nicht gelungen )

Es seien $\begin{eqnarray*} (x,y,z,w) \end{eqnarray*}$ die Eckkoordinaten. Dann können in meinem Bild die Koordinaten $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ für den äußeren wie für den inneren Würfel so abgelesen werden, als wären das 3D-Würfel. Der äußere Würfel bekommt überall $\begin{eqnarray*} w=0 \end{eqnarray*}$ und derr innere Würfel überall $\begin{eqnarray*} w=1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Anton bestimmt die Farbe der Startposition und flippt dann zur gewünschten Farbe, auch dann, wenn diese
schon von der richtigen Farbe ist. (Zugzwang)

Wegen dieses Zugzwangs müssen die Ecken einer Farbe immer paarweise als benachbarte Ecken auftreten.

13.07.2020, 13:11

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Schachbrett mit Fächer
leider ohne Münzen

[attach]51707[/attach]

In der Neuzeit hat ein Wärter das Puzzle mit einem edlen handgefertigten Schachbrett, dessen Felder einzeln
herausnehmbar sind und Platz für einen Minischlüssel bieten, nachgestellt.
Zum Glück für Archie und Bob hat er damit unbewusst die notwendige Bedingung

$\begin{eqnarray*} \qquad 2^{64}=64\cdot 2^{58 } \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Eine mögliche Tabelle hätte 64 Kapitel mit jeweils $\begin{eqnarray*} 288 230 376 151 744 \end{eqnarray*}$ Einträgen.
Für eine Brett- Position braucht man 8 Byte z.B. $\begin{eqnarray*} (A7 51 0C 9D 34 AF 4E 72 ) \end{eqnarray*}$ , was einen Platzbedarf von mindestens $\begin{eqnarray*} 2^{67} \approx 147.6 \cdot 10^{18} \text{Bytes} \approx 147\, \text{Exabytes} \end{eqnarray*}$ erfordert.

Was rund 73 Mio Festplatten zu je 2 Terabyte entspricht. Selbst Google müsste man vorher fragen,
ob das in die cloud ausgelagert werden kann/darf.

Kurzum: auf den Läptops wäre ein Programm wünschenswert, das nach Eingabe der Position

und des gewüschten Schlüsselfeldes für Archie die Nummer der zu flippenden Münze berechnet.
für Bob die Nummer des Feldes mit dem Schlüssel liefert.

14.07.2020, 22:57

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Boxen, Münzen und ein Schlüssel

Zitat:

Original von Dopap
"So und nun geh' zu B, erklär ihm alles und tüftelt gemeinsam ein Rezept aus wie du ihm insgeheim die Nummer der Box mit Schlüssel übermitteln willst" [/list]

Leute, Ihr seid noch nicht fertig. Lehrer

Die Grafik von Huggy ist so vielversprechend. Augenzwinkern

Aber leider weiß ich noch nicht, wie B von A zu instruieren ist. Auf die Formulierung bin ich gespannt. Und daß Dopap von der ursprünglichen Aufgabe ablenkt, ist auch nicht hilfreich. unglücklich

15.07.2020, 08:41

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Boxen, Münzen und ein Schlüssel

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Leute, Ihr seid noch nicht fertig. Lehrer

Die Grafik von Huggy ist so vielversprechend. Augenzwinkern

Aber leider weiß ich noch nicht, wie B von A zu instruieren ist.

Das sollte doch klar sein. B erhält von A 4 Gruppen von Bitfolgen. Die Gruppen benenne ich mal nach den Farben in meinem Bild. Jede Gruppe besteht aus 4 Bitfolgen entsprechend den 4 Ecken gleicher Farbe in meinem Bild. Die Instruktion an B lautet nun z. B.:

Findest du auf den Kisten eine Bitfolge aus der Gruppe Grün, wähle Kiste 0.
Findest du auf den Kisten eine Bitfolge aus der Gruppe Blau, wähle Kiste 1.
Findest du auf den Kisten eine Bitfolge aus der Gruppe Braun, wähle Kiste 2.
Findest du auf den Kisten eine Bitfolge aus der Gruppe Magenta, wähle Kiste 3.

15.07.2020, 11:30

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

@Ulrich Ruhnau

Ich hab' es gar nicht gerne wenn man mir böse Absichten unterstellt.
Das matheboard ist nicht irgendein Schreikanal auf YT. Es gibt noch Schreibfiguren wie

meiner Meinung nach (mMn) oder auch imho ...

Die ursprüngliche "Aufgabe" waren 3 Boxen danach deren 4.
Auf das letzte Erklärung von Huggy habe ich nichts geschrieben weil die Sachlage damit für mich klar war.

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Leute, Ihr seid noch nicht fertig. Lehrer

Die Grafik von Huggy ist so vielversprechend. Augenzwinkern

Aber leider weiß ich noch nicht, wie B von A zu instruieren ist.

Das sollte doch klar sein. [... ]

wenn es dir nicht klar ist, dann sage das und behaupte nicht mit viel Optik, dass man noch nicht fertig sei.
Der Thread hat eine gewisse gewollte Entwicklung und momentan steht die Frage im Raum, wie ein Programm für das Schachbrett ( n=64 ) aussehen könnte, falls eine Lösung existiert.

15.07.2020, 11:32

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Boxen, Münzen und ein Schlüssel
Ja, Huggy, jetzt ist noch die Phantasie gefragt. - Nun lege mal sprachlich eine Bitfolge für alle vier Farben fest, sodaß A jetzt eindeutig und ohne viel Worte mitteilen kann, was B jetzt machen soll.
Irgendwie muß das doch mit den Münzen zusammenhängen, oder wolltest Du die Münzen etwa anmalen? Big Laugh

15.07.2020, 11:54

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Boxen, Münzen und ein Schlüssel
Wer sagt, dass das sprachlich sein muss? A gibt B einen Zettel mit den 4 Gruppen von Bitfolgen und der Angabe, welche Gruppe zu welcher Kiste gehört.

15.07.2020, 12:15

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Boxen, Münzen und ein Schlüssel
@Huggy

Und was ist, wenn man keine Zettel und nichts zu schreiben zur Verfügung hat, was sagt man dann?

15.07.2020, 13:04

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Boxen, Münzen und ein Schlüssel
Das ist nicht Teil der Aufgabe. Solche Einwände lassen mich zweifeln, ob du seriös diskutieren willst.

15.07.2020, 16:28

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 4 Boxen, 4 Münzen und ein Schlüssel

Zitat:

Original von Dopap
"So und nun geh' zu B, erklär ihm alles und tüftelt gemeinsam ein Rezept aus wie du ihm insgeheim die Nummer der Box mit Schlüssel übermitteln willst"

Ich weiß nicht, ob Gefängnisinsassen immer was zu schreiben mithaben. Und daß sich A und B Zettel machen dürfen, um die Aufgabe zu knacken, davon hat der Gefängniswärter mit Abitur auch nichts gesagt.

Aber in Anlehnung an den vierdimensionalen Würfel von Huggy könnte man vielleicht auch ohne Zettel auskommen. Man fasse einfach die beiden Münzen auf den Schachteln 0 und 1 als Dualzahl auf entsprechend der linken Seite der Zeichnung. Diese Zahl soll die Schachtel mit dem Schlüssel angeben. Die Münze auf Schachtel 3 gibt an, ob man sich die ersten beiden Münzen invertiert denken muß entsprechend der inneren linken Seite (Münze3 = 1) oder entsprechend der äußeren linken Seite (Münze3 = 0).

A hat folgendes zu tun:
Wenn alle Münzen schon richtig liegen, dreht er nur Münze2.
Andernfalls, verdreht er eine andere, die passen muß.

B hat folgendes zu machen:
Wenn Münze0 auf Zahl steht, heiß das eine 2.
Wenn Münze1 auf Zahl steht, heißt das eine 1.
Er bildete daraus die Summe.
Wenn Münze3 auf Zahl steht, rechnet er 3 minus Summe, sonst nimmt er die Summe und erhält so die Nummer der Schachtel mit dem Schlüssel.

Zitat:

Original von Huggy
[attach]51692[/attach]

Neue Frage »

Antworten »

Boxen, Münzen und ein Schlüssel

Verwandte Themen