Betragsgleichung mit 2 Beträgen
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09.07.2020, 21:13 DJ666 Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsgleichung mit 2 Beträgen
Meine Frage:
Ich soll folgende Betragsgleichung lösen, weiß aber nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin.

|x-1|+|2x+4|=6

Meine Ideen:
Mein 1. Ansatz war Fallunterscheidungen zu machen

1. Fall für x-1>=0 <-> x>=1 und 2x+4>=0 <-> x>=-2

2. Fall für x-1<0 <-> x<1 und 2x+4<0 <-> x<-2

3. Fall für -(x-1)>=0 <-> x>=1 und -(2x+4)>=0 <-> x>=-2

4. Fall für -(x-1)<0 <-> x<1 und -(2x+4)<0 <-> x<-2

Lösungen zu:

Fall 1

x -1+2x+4=6 nach Umformung x=1; erfüllt somit beide Bedingungen L1= {1}

Fall 2

x -1+2x+4=6 nach Umformung x=1; erfüllt somit keine der beiden Bedingungen L2={ }

Fall 3

-(x -1)-(2x+4)=6 nach Umformung x=-3; erfüllt somit keine der beiden Bedingungen L3={ }

Fall 4

-(x -1)-(2x+4)=6 nach Umformung x=-3; erfüllt somit beide Bedingungen L4={-3}

Lösungsmenge der Betragsgleichung L= {1,-3}

Kann das stimmen?
Bin dankbar für eure Ideen...
09.07.2020, 21:26 klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung mit 2 Beträgen
Die Lösungsmenge ist richtig, eine Anmerkung zur Schreibweise reiche ich gleich noch nach.
09.07.2020, 21:50 klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung mit 2 Beträgen
Folgende Kritik habe ich anzubringen:

Grundsätzlich richtig ist es, die 4 Fallunterscheidungen für die Ausdrücke in den Beträgen zu machen. Aber es muß auch für jeden Zweig die resultierende Grundmenge angegeben werden. Das ist hier
- für 1. Fall: x >= 1
- für 2. Fall: x < -2
Fall 3 und 4 finde ich sehr ungünstig geschrieben, da Du da schon Umformungen gemacht hast, die nicht auf Anhieb einleuchten.
Systematisch wäre:
3. Fall: x-1 >= 0 und 2x+4 < 0; Grundmenge: { }
4. Fall: x-1 < 0 und 2x+4 >= 0; Grundmenge: -2 <= x < 1

Dann sollte für jeden Zweig mit nichtleerer Grundmenge die gültige Gleichung ohne Betragsstriche hingeschrieben werden. Nach Berechnung deren möglicher Lösung ist diese mit der jeweiligen Grundmenge zu vergleichen.

Mir scheint, dass bei Deiner Rechnung schon ab Fall 2 der Wurm drin ist. Dass die Lösung letztlich stimmt, mag Zufall sein, auf jeden Fall müßte das nochmal völlig neu sauber notiert werden.
09.07.2020, 22:29 Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die Aufgabe auch ohne eine Aufteilung in Zweige lösen. Zunächst einmal löst man die vier linearen Gleichungen



in der Menge der reellen Zahlen (alle Vorzeichenkombinationen berücksichtigen). Das ist schnell gemacht. Die Lösungen dieser vier Gleichungen sind die einzigen Kandidaten für die Lösungen der ursprünglichen Gleichung. Durch die Probe dort kann man die falschen Werte ausscheiden.
10.07.2020, 06:40 early Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die Nullstellen der Beträge betrachtet, gibt es 3 Fälle:

x<=-2

-2<=x<1

x>1

1.Fall:
x<-2
-(x-1)-(2x+4)=6
-x+1-2x-4=6
x= --3

2,Fall:
-2<=x<1
-x+1+2x+4=6
x=1 entfällt

3.Fall:
x>1
x-1+2x+4=6
x=3
10.07.2020, 07:12 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Fallunterscheidung ist unvollständig, weil just x=1 in keinem der Fälle vertreten ist. Dumm gelaufen, da das ja gerade eine Lösung ist, während das von dir angegebene x=3 KEINE Lösung ist. Augenzwinkern


Im vorliegenden Fall ist wohl Leopolds Vorschlag der, mit dem man am schnellsten zum Ziel kommt. Bei solchen "linearen" Betragstermen würde man allerdings etwas anders vorgehen, da das Durchklappern aller Vorzeichenkombinationen dann etwas zu aufwändig ist, denn man kann den Aufwand im Bereich halten.
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10.07.2020, 07:49 early Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich war unaufmerksam und unkonzentriert.
Bei 3 fehlt das MINUS, statt x<1 muss es lauten x<=1.

Wenn man das berücksichtigt, gehts schon recht schnell, oder? smile
11.07.2020, 18:07 DJ666 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung mit 2 Beträgen
Vielen Dank für deine Erklärungen. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden.
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