Hier müsste man doch dividieren statt multiplizieren

10.07.2020, 18:04

Tangentialvektor

Hier müsste man doch dividieren statt multiplizieren

Meine Frage:
Das ganze ist aus folgendem Wikipediaartikel: https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_von_Lanchester
Der Wikipediaartikel hat zwei Funktionen von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , die folgende Ableitungen haben. $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d} t} = -G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t} = -R \end{eqnarray*}$ . Daraus soll sich jetzt durch Multiplikation diese Gleichung ergeben.
$\begin{eqnarray*} \int R \mathrm{d} R = \int G \mathrm{d} G \end{eqnarray*}$
Aber das ergibt keinen Sinn. Würde ich die beiden Gleichungen addieren, ergäbe sich $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t} = RG \end{eqnarray*}$ . Und ich sehe nicht, wie sich diese Integrale ergeben sollen. Würde ich allerdings dividieren, ergäbe sich $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}R}{ \cancel{\mathrm{d} t}} \cdot \frac{\cancel{\mathrm{d} t}}{\mathrm{d}G} = \frac{G}{R} \Leftrightarrow R \mathrm{d} R = G \mathrm{d} G \end{eqnarray*}$ .
Was sagt ihr dazu?

Meine Ideen:
.

11.07.2020, 06:59

HAL 9000

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Ich weiß nicht, wo du hier ein Problem siehst:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd R}{\dd t} = -G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{\dd G}{\dd t} = -R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ multipliziert ergibt die Gleichheit $\begin{eqnarray*} R \frac{\dd R}{\dd t} = -RG = G \frac{\dd G}{\dd t} \end{eqnarray*}$ . Und dies über $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ integriert ergibt

$\begin{eqnarray*} \int R \frac{\dd R}{\dd t} ~ \dd t = \int G \frac{\dd G}{\dd t} ~ \dd t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int R ~ \dd R = \int G ~ \dd G \end{eqnarray*}$ .

11.07.2020, 08:35

Tangentialvektor

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Ich sehe ein Problem an der Formulierung. "Multiplizieren" ist halt etwas ungenau, aber so geht das auch.
Ich war halt beim Lesen etwas überfragt, weshalb ich gefragt hab.

11.07.2020, 09:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tangentialvektor
"Multiplizieren" ist halt etwas ungenau

Wenn du das nicht verstehst, kannst du auch "Malnehmen" sagen. Augenzwinkern

Im Ernst: Was soll daran "ungenau" sein?

11.07.2020, 09:11

Tangentialvektor

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Ich habe mich etwas vertan. "multiplizieren beider Gleichungen". Darunter verstehe ich, dass man beide Gleichungen miteinander multipliziert, aber wenn man das macht, ergäbe sich etwas anderes, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} G}{\mathrm{d} t} = RG \end{eqnarray*}$ . Und ich weiß nicht, wie man von hier aus auf die Integrale kommt.

11.07.2020, 09:16

Ulrich Ruhnau

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RE: Hier müsste man doch dividieren statt multiplizieren

Zitat:

Original von Tangentialvektor
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d} t} = -G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t} = -R \end{eqnarray*}$ . Daraus soll sich jetzt durch Multiplikation diese Gleichung ergeben.
$\begin{eqnarray*} \int R \mathrm{d} R = \int G \mathrm{d} G \end{eqnarray*}$

Du löst am besten beide Gleichungen nach $\begin{eqnarray*} \dd t \end{eqnarray*}$ auf und setzt sie gleich.

11.07.2020, 09:26

Tangentialvektor

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RE: Hier müsste man doch dividieren statt multiplizieren
Ich glaube, ihr versteht mich falsch. Es geht mir nicht um die Gleichung, sondern um die Formulierung aus dem Artikel: " Aus $\begin{eqnarray*} \frac{ \mathrm{d} R}{ \mathrm{d} t} = -G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{ \mathrm{d} G}{ \mathrm{d} t} = -R \end{eqnarray*}$ folgt nach Multiplikation beider Gleichungen $\begin{eqnarray*} \int R \mathrm{d} R = \int G \mathrm{d} G \end{eqnarray*}$ ". Und ich habe mich halt gefragt, wie genau man bei Multiplikation beider Gleichungen auf die Integrale kommt.

11.07.2020, 09:38

IfindU

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RE: Hier müsste man doch dividieren statt multiplizieren
Hilft es wenn du statt $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d} t} = -G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t} = -R \end{eqnarray*}$ besser
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d} t} = -G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -R = \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t} \end{eqnarray*}$ schreibst und dann beide multiplizierst? Dann steht unmittelbar $\begin{eqnarray*} -R \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d} t} = - G \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d} t} \end{eqnarray*}$ dort.

Am Ende ist Gleichheit eine transitive Eigenschaft. Daher ist es egal, ob man zuerst die Symmetrie der Gleichheit nutzt wie ich oder "nachträglich" wie HAL.

Und Integrale erhält man nicht inhärent durch Multiplikation oder Division von integralfreien Gleichungen. Da muss man noch aus vielen punktweisen Gleichheiten die Gleichheit von konsolidierten Werten folgern.

11.07.2020, 09:40

HAL 9000

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Oben stand statt "Multiplikation beider Gleichungen" noch

Zitat:

Original von Tangentialvektor
Daraus soll sich jetzt durch Multiplikation diese Gleichung ergeben.

Egal: Man kann ja auch die linke Seite der einen Gleichung mit der rechten Seite der anderen Gleichung multiplizieren, und umgekehrt. Und dann passiert (bis auf das Vorzeichen) genau das, was ich oben geschrieben habe.

EDIT: Hat sich überkreuzt mit der inhaltsgleichen Erklärung von IfindU. smile

11.07.2020, 09:49

Tangentialvektor

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RE: Hier müsste man doch dividieren statt multiplizieren
Ja, das hat tatsächlich geholfen. Danke!

11.07.2020, 13:58

klauss

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RE: Hier müsste man doch dividieren statt multiplizieren
Ich hatte den Wikipedia-Artikel zu Lanchester auch mehrmals gelesen und finde ihn zur Herleitung/Erklärung der Theorie nicht gelungen.
Besser ist der Beitrag zur zweistelligen Verknüpfung. Aufgrund der wie gewohnt akribischen Definition ist es selbstverständlich Aufgabe des Verwenders, wenn er von "Multiplikation" spricht, unaufgefordert klarzustellen, was und womit multipliziert wird (Beide mit sich selbst, Beide miteinander, Beide mit demselben Faktor, Beide mit verschiedenen Faktoren ...?). Da gibts keine Ausreden.

Das Verständnisproblem von Tangentialvektor ist daher völlig berechtigt und es ist symptomatisch, dass er dafür noch mehrmals nachfragen mußte.

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