Beweis differenzierbar und stetig

Neue Frage »

11.07.2020, 12:35	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis differenzierbar und stetig Hallo, ich möchte zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} [0;1]\rightarrow \mathbb{R}: p\mapsto 1-\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\int_0^p t^k(1-t)^{n-k-1}\text{d}t \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p\in[0;1] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k\in\{1,...,n-1\} \end{eqnarray}$ monoton fallend ist. Dazu muss ich unter anderem zeigen dass die Funktion auf dem Intervall [0;1] stetig und auf dem Intervall (0;1) differenzierbar ist. Dazu habe ich verwendet, dass die Potenzfunktionen $\begin{eqnarray} t^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ in einem Körper differenzierbar sind, damit auch deren Produkt. Im Nächsten Schritt habe ich die Funktion der Form $\begin{eqnarray} [0;1]\rightarrow\mathbb{R}:p\mapsto \int_0^p f(t) dt \end{eqnarray}$ angesehen. (Wobei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist, da es als produkt von differenzierbaren Funktionen differenzierbar und daher stetig ist (f ist ja gerade das Produkt der Potenzfunktionen)). Funktionen der oben genannten Form sind differenzierbar also auch stetig (und logischerweise auch deren Produkt mit der Zahl $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k!(n-k-1)!} \end{eqnarray}$ . Daher ist auch ihre Differenz mit der konstanten Funktion 1 differenzierbar und daher stetig. Habe ich hier irgendwo einen Fehler / sollte etwas eurer Meinung nach genauer begründet werden? Danke und LG
11.07.2020, 13:48	La matematica	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion ist als Integral einer Funktion automatisch diffbar und damit auch stetig. Mehr ist dazu nicht zu sagen.
11.07.2020, 14:47	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
dazu muss aber wohl die Funktion im Integral stetig sein oder nicht? Deshalb ja auch die ausführliche Erklärung.
11.07.2020, 14:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} p \mapsto \int_0^p g(t) dt \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} g \geq 0 \end{eqnarray}$ monoton wachsend. Dabei kann $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sehr allgemein gewählt werden und die Stetigkeit ist nicht notwendig. Auch ist die stetige Abhängigkeit in der oberen Grenze nicht notwendig. Ist $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ monoton wachsend so ist auch $\begin{eqnarray} p \mapsto \int_0^{h(p)} g(t) dt \end{eqnarray}$ monoton wachsend. D.h. was du zeigen willst gilt sehr allgemein und ich denke was du versuchst zu zeigen, ist dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar ist und die Ableitung immer nichtnegativ ist. Kann man in deinem Fall machen, aber das ist mit Kanonen auf Spatzen geschossen.
11.07.2020, 15:06	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ich verstehe. Da habe ich tatsächlich etwas vermischt. Das mit der Monotonie ist mir nun klar, dass das einfacher geht. Was aber, wenn ich zeigen will, dass besagte Funktion differenzierbar ist. Ist das dann richtig so bzw. ausreichend überlegt (vor allem: stimmt meine Überlegung tatsächlich für p in [0;1] (also abgeschlossen?))
11.07.2020, 15:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das einfachste wäre die Funktion auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ mit der gleichen Funktionsvorschrift fortzusetzen. Und dann hast du, dass die Funktion auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ eine glatte Funktion ist und damit auch auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Stetigkeit auf nicht-offenen Mengen ist ein gängiges Konzept. Differenzierbarkeit nicht. Es gibt erweiterte Definitionen für Differenzierbarkeit (einseitige differenzierbar usw.) Was du willst, ist aber der Satz. Ist $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ stetig, auf $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray} p' \geq 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ monoton wachsend. D.h. Differenzierbarkeit wird nicht am Rand benötigt.
Anzeige

11.07.2020, 15:24	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
okay. richtig - die Differenzierbarkeit am Rand hätte ich gebraucht, um dann recht einfach die Stetigkeit bei 0 und 1 zu erhalten - ist aber dann hier garnicht notwendig wenn ich das mit der Monotonie "ohne Kanonen" mache, wie von dir vorgeschlagen. Richtig?
11.07.2020, 15:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Monotonie benötigt keine Stetigkeit. Andersrum folgt aus Monotonie, dass es höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen gibt.
11.07.2020, 17:03	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Beweis differenzierbar und stetig

Verwandte Themen