Gauß über endlichem Körper zur Bestimmung des Kerns

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Analystttt Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß über endlichem Körper zur Bestimmung des Kerns
Hallo.
Ich habe eine Matrix, für die ich den Kern bestimmen soll. Die Matrix selbst lautet:

Ich verstehe, was in diesem Zusammenhang bedeutet. Allerdings habe ich Probleme mit dem Gauß zur Bestimmung des Kerns. Ich wende bei jedem Zwischenschritt den Modulo an, bekomme am Ende aber stets einen Vektor v raus, der nicht meine gewünschten Anforderungen an genügt.

Wie würdet ihr hier vorgehen? Verwechsel ich da was mit dem Modulo?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

12 ist keine Primzahlpotenz, also haben wir keinen Körper. Das kann Probleme geben.
Analystttt Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt natürlich.
Wie würdest du denn im Falle von [/latex] vorgehen?

Der Kern im Bereich der rationalen Zahlen ist ja recht schnell herauszufinden und man kann es gut über die Probe kontrollieren.
Bei den "Modulo-Aufgaben" habe ich das Problem, dass die Probe scheitert.
Analystttt Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich kann leider nicht editieren.
Ich meinte: Wie würdest du im Falle von [/latex] vorgehen? Hier haben wir ja einen Körper.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gaußsche Algorithmus sollte weiter funktionieren, und zwar im folgenden Sinn. Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern, sind:

(1) Vertauschen von Zeilen
(2) Multiplikation einer Zeile mit einer Einheit des Rings
(3) Ersetzen einer Zeile durch die Summe aus dieser Zeile und dem Vielfachen einer andern

Denn diese Operationen lassen sich rückgängig machen. Mit diesen Operationen konnte ich bei der ersten Aufgabe



erreichen. Für ein Lösungsquadrupel muß wegen der letzten Zeile daher Folgendes gelten:



Weil 7 eine Einheit ist, habe ich frei gewählt: mit . Auflösen von unten nach oben ergab die folgenden Lösungsquadrupel:

Analystttt Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold!
Ich sehe durch die Probe, dass deine Lösung richtig ist.

Leider komme ich als Zwischenschritt auf

wenn ich die Zwischenergebnisse modulo 12 betrachte.


Wärst du so nett, mir deine Umformungen zu zeigen? Wahrscheinlich sehe ich da was wirklich einfaches einfach nicht und stehe auf dem Schlauch... Danke für deine Geduld!
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie du auf Kommazahlen kommst. So etwas gibt es in nicht.

1. Addiere das (-9)-fache oder, in gleichbedeutend, das 3-fache der ersten Gleichung zur zweiten, dann das (-6)-fache, oder gleichbedeutend das 6-fache, der ersten Gleichung zur dritten.

2. Vertausche die zweite und die dritte Gleichung.

3. Addiere das (-4)-fache, oder gleichbedeutend das 8-fache, der zweiten Gleichung zur dritten.

Dann bekommst du meine Stufenmatrix.
Tinkerbell99 Auf diesen Beitrag antworten »

wie geht man bei einer solchen Aufgabe denn mit negativen Zahlen um?

Beispiel:
wir haben 11 als Wert, dann bleibt er bei 11, da Z11.
Wir haben 12 als Wert, nun "springen" wir einen Wert weiter und schreiben 0.

Wie verhält es sich mit -1, -2 ,... ?

Danke für eure Rückmeldungen smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

-1 ist das inverse zu 1, also musst Du Dich fragen, welche Lösung x+1=0 besitzt.
Da Du schon weißt, dass 0=12 ergibt sich direkt x=11 (Sofern wir noch in sind).
Tinkerbell99 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
-1 ist das inverse zu 1, also musst Du Dich fragen, welche Lösung x+1=0 besitzt.
Da Du schon weißt, dass 0=12 ergibt sich direkt x=11 (Sofern wir noch in sind).


Okay, dann ist es wie ich vermutet habe.

-12 wäre dann ebenfalls 0, -13 = 1, -14 = 2 usw...

Danke dir ! smile Habe im Netz nichts dazu gefunden..
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte -13=1 sein? Ist 13+1=0?
Tinkerbell99 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Wieso sollte -13=1 sein? Ist 13+1=0?


Öhm. Ne - das ist 14, aber da wir uns im Z12 Raum befinden, kann ich mich doch nur im Zahlenbereich von 0 bis 12 bewegen oder nicht?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, aber 14 ist nicht dasselbe wie 0 in diesem Raum.

Ich verallgemeinere meine Aussage von oben einmal:
Um das additive Inverse von a zu bestimmen, also -a, musst Du Dir überlegen, welche Lösung x die Gleichung x+a=0 besitzt. Hierbei ist das Wissen, dass 0=12=24=36 usw., hilfreich.

Beispiel: Inverse zu 2: Folglich ist -2=10 in
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