Hardy-Weinberg-Theorem

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Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Hardy-Weinberg-Theorem
Für ein Genpaar gebe es die Allele A und a, so daß die folgenden Genotypen möglich sind: AA, Aa, aa (die Reihenfolge der Gene spielt keine Rolle, die Natur ordnet nicht). Von jedem Elternteil wird genau eines der beiden Gene an die Nachkommen weitergegeben, jedes mit Wahrscheinlichkeit 1/2.

1. Sind beide Elternteile vom Typ AA beziehungsweise beide vom Typ aa, so ist auch der Nachkomme vom Typ AA beziehungsweise aa.

2. Ist ein Elternteil vom Typ AA, der andere vom Typ aa, so ist der Nachkomme vom Typ Aa.

3. Ist ein Elternteil vom Typ AA, der andere vom Typ Aa, so ist der Nachkomme mit Wahrscheinlichkeit 1/2 vom Typ AA und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 vom Typ Aa.

4. Ist ein Elternteil vom Typ aa, der andere vom Typ Aa, so ist der Nachkomme mit Wahrscheinlichkeit 1/2 vom Typ aa und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 vom Typ Aa.

5. Sind schließlich beide Elternteile vom Typ Aa, so ist der Nachkomme mit Wahrscheinlichkeit 1/4 vom Typ AA, mit Wahrscheinlichkeit 1/4 vom Typ aa und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 vom Typ Aa.

In der Startpopulation seien AA, aa, Aa mit den Anteilen vertreten, . Wie sieht nun die Verteilung der Genotypen AA, aa, Aa in der 1. Generation der Nachkommen bei zufälliger Zeugung aus?

[attach]51700[/attach]

Der Baum stellt die Situation dar. Man berechnet



Analog findet man



Und schließlich





Und wie ist das in der zweiten Generation der Nachkommen?









Und man macht die verblüffende Entdeckung, daß die Verteilung ab der 1. Generation der Nachkommen stationär wird. Das ist der Inhalt des Theorems von Hardy und Weinberg.

Nach dieser langen Einleitung nun die Aufgabe:
Man gebe eine (möglichst einfache) Beschreibung der möglichen stationären Populationen an.

(Die Aufgabe ist bewußt etwas offen gehalten. Ein ganz ein Schlauer könnte natürlich sagen: Da oben steht sie ja, diese einfache Beschreibung. Aber vielleicht geht ja noch mehr.)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hardy-Weinberg-Theorem
Zitat:
Original von Leopold
Man gebe eine (möglichst einfache) Beschreibung der möglichen stationären Populationen an.

Wenn man einfach rechnet, bekommt man für die stationären Populationen





mit

Das ist einfach, aber ist es möglichst einfach?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die von abhängige Größe eliminiert, bekommt man



Sinnvoll sind alle mit und .

Setzt man , erhält man die Parameterdarstellung



Vergleiche ich das mit deiner Parameterdarstellung, so erkenne ich die Parametertransformation



Ersetzt man in deiner Parameterdarstellung durch diesen Term (mit in deiner ersten Vorzeichenkombination und mit in deiner zweiten Vorzeichenkombination), so erhält man .

Jetzt wäre die Frage, was eigentlich für eine Kurve ist. Man kann den Parameter eliminieren und die Kurve als Funktionsgraph darstellen. Interessanter finde ich aber das Folgende. Zunächst rechnet man





Indem man quadriert und davon das Doppelte von subtrahiert, bringt man den Parameter zum Verschwinden:



Und da ist eine Hauptachsentransformation verlockend:

Scotty1701D Auf diesen Beitrag antworten »

Noch kürzer wird es, wenn man vorgibt und benutzt.
Dann ist

und
.
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hardy-Weinberg-Theorem
Zitat:
Original von Leopold
Nach dieser langen Einleitung nun die Aufgabe:
Man gebe eine (möglichst einfache) Beschreibung der möglichen stationären Populationen an.


Aus Sicht eines biologischen Modells mit 2 Allelen recht einfach:



(ideelles) Hardy-Weinberg Gleichgewicht:



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