Intervall für Wahrscheinlichkeit

15.07.2020, 21:16

jonsnow

Intervall für Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Aufgabe :

Gegeben :
P(A) = 0,3 ; P(B) = 0,6; P(A\B) = 0,1; P(AnB) = 0,2 ; P(AuB) = 0,7;
P(B\A) = 0,4; P(A>diff<B) = 0,5; P((AuBuC)komplementär)=0,1; P(AnBnC) = 0,1

Zu zeigen : P((AuB)\C) liegt in [0,1, 0,7].

Meine Ideen:
Ich weiß natürlich, dass AuBuC = 0,9 ist, da komplementär 0,1 ist.

Ich weiß jedoch nicht, wie ich auf P(C) kommen soll.

Kann ich sagen, dass P(C) = 0,1 weil AnB = 0,2 ist und die Differenz 0,1 ist?

Denn so wäre P(AuB) = 0,7 \ P(C) = 0,1 -> 0,6 , welches ja zwischen 0,1 und 0,7 liegt.

Bräuchte Hilfe.

Vielen Dank !

16.07.2020, 13:22

Ulrich Ruhnau

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RE: Intervall für Wahrscheinlichkeit

Zitat:

verbessertes Original von jonsnow
Meine Frage:
Aufgabe :

Gegeben :
$\begin{eqnarray*} P(A) = 0{,}3\quad P(B) = 0{,}6\quad P(A\setminus B) = 0{,}1\quad P(A\cap B) = 0{,}2\quad P(A\cup B) = 0{,}7\\ P(B\setminus A) = 0{,}4\quad P(A>\Delta<B) = 0{,}5\quad P(\overline{A\cup B\cup C})=0{,}1\quad P(A\cap B\cap C) = 0,1 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen : $\begin{eqnarray*} P(( A\cup B)\setminus C) \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} [0{,}1\,|\, 0{,}7] \end{eqnarray*}$ .

@jonsnow
Was meinst Du mit P(A>diff<B) = 0,5 ?

16.07.2020, 14:19

HAL 9000

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Den Angaben über $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ nach ist

$\begin{eqnarray*} P(A\setminus B) = P((A\setminus B) \cap C) + P((A\setminus B) \cap C^c) = 0.1\qquad (1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B\setminus A) = P((B\setminus A) \cap C) + P((B\setminus A) \cap C^c) = 0.4\qquad (2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A\cap B \cap C) + P(A\cap B \cap C^c) = 0.2 \end{eqnarray*}$

Zusätzlich wissen wir noch $\begin{eqnarray*} P(A\cap B \cap C) = 0.1 \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B \cap C^c) = 0.2-0.1 = 0.1\qquad (3) \end{eqnarray*}$ .

Aus (1),(2) folgt

$\begin{eqnarray*} 0\leq P((A\setminus B) \cap C^c) \leq 0.1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq P((B\setminus A) \cap C^c) \leq 0.4 \end{eqnarray*}$

Das mit (3) summiert bekommt man sogar das etwas stärkere

$\begin{eqnarray*} 0.1 \leq P((A\cup B)\cap C^c) \leq 0.6 \end{eqnarray*}$ .

16.07.2020, 19:16

Dopap

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RE: Intervall für Wahrscheinlichkeit

Zitat:

@jonsnow
@HAL
Was bedeutet P(A>diff<B) = 0,5 ?

Da ich gerade auch am Rechnen bin, würde mich das auch interessieren

16.07.2020, 19:52

HAL 9000

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Anscheinend meint er die symmetrische Differenz $\begin{eqnarray*} A\Delta B = (A\setminus B)\cup (B\setminus A) \end{eqnarray*}$ .

17.07.2020, 01:25

Dopap

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wenn ich 10 Gleichungen mit den 8 disjunkten Teilmengen a,b,c,d,e,f,g,h
ansetze, ist es nicht möglich das gewünschte $\begin{eqnarray*} P((A\cup B) \backslash C)=P(a\cup b\cup d) \end{eqnarray*}$ exakt zu lösen.
$\begin{eqnarray*} P(e)=P((B\cap C) \backslash A) \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} P(f) \end{eqnarray*}$ bleiben dabei variabel.

Das würde auch dem Sinn derAufgabe widersprechen. Die Gleichungen sind l.a.
Der Lösungsraum hat nur 6 Dimensionen oder der Rang der Koeffizientenmatrix ist 6, falls die Erinnerung nicht trügt.

17.07.2020, 11:19

Dopap

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nochmal überprüft:
9 Gleichungen mit 8 Variablen und nicht lösbar.

18.07.2020, 17:20

HAL 9000

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Bei drei Ereignissen wird der Grundraum in $\begin{eqnarray*} 2^3=8 \end{eqnarray*}$ Teile zerlegt, jeweils der Gestalt $\begin{eqnarray*} U\cap V\cap W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U\in \{A,A^c\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V\in \{B,B^c\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} W\in \{C,C^c\} \end{eqnarray*}$ .

Die Summe der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ist gleich 1, damit fällt ein Freiheitsgrad weg, es verbleiben damit 8-1=7 Freiheitsgrade.

Von den Angaben in der obigen Problemstellung sind einige redundant: Aus $\begin{eqnarray*} P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A\cap B)=0.2 \end{eqnarray*}$ folgen automatisch die Werte $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=0.3+0.6-0.2 = 0.7 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(B\setminus A) = 0.6-0.2=0.4 \end{eqnarray*}$ sowie auch $\begin{eqnarray*} P(A\Delta B) = 0.3+0.6-2\cdot 0.2 = 0.5 \end{eqnarray*}$ . Diese letzteren drei zählen daher nicht, was die Reduktion der Freiheitsgrade betrifft, von denen haben wir noch $\begin{eqnarray*} 7-3-2=2 \end{eqnarray*}$ übrig.

Genau diese beiden habe ich oben für die Abschätzung ja genutzt:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B^c\cap C^c) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(A^c\cap B\cap C^c) \end{eqnarray*}$ minimal (und damit 0) führt zu $\begin{eqnarray*} P((A\cup B)\cap C^c)=0.1 \end{eqnarray*}$ , während beide maximal (0.1 bzw. 0.4, s.o.) dann zu $\begin{eqnarray*} P((A\cup B)\cap C^c)=0.6 \end{eqnarray*}$ führt.

18.07.2020, 20:17

jonsnow

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Hallo und danke für eure Antworten.

Wenigstens war die Idee einer Differenz von etwas - richtig von mir ... unglücklich

@HAL9000

Ich habe deinen Rechenweg größtenteils verstanden.

Jedoch verstehe ich noch nicht, was du genau im letzten Schritt "summiert mit (3) ergibt sich dann das stärkere " gemacht hast.

Sprich, den Punkt von dir mit minimal und maximal.

18.07.2020, 20:19

Dopap

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Ich hab' das jetzt nochmals das LGS mit den 9 Gleichungen ohne Matrizen bearbeitet und erhalte

$\begin{eqnarray*} \begin{array}\\ a=\tfrac {1}{10}-f \\ b=\tfrac {4}{10}-e \\ c=\tfrac {2}{10}\\ d=\tfrac {1}{10}\\ e=e \\ f=f\\g=\tfrac {1}{10} \\ h=\tfrac {1}{10} \end{array} \end{eqnarray*}$

bei den freien Variablen gilt natürlich höchstens $\begin{eqnarray*} e,f \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und daraus dann

$\begin{eqnarray*} 0\leq f \leq \tfrac {1}{10}\qquad 0\leq e \leq \tfrac {4}{10} \end{eqnarray*}$

ob man daraus ebenfalls das Gesuchte basteln könnte?
------------------------
edit: und gerade jetzt hat sich der Threadsteller gemeldet.

18.07.2020, 20:42

jonsnow

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PS :

Ist geschnitten C(komplementär) und ohne C das Gleiche ?

Sprich : P((AuB)nC^c) = P((AuB)\C) ?

18.07.2020, 21:01

jonsnow

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PS 2 :

Falls gefragt ist, dass ich einen WK-Raum angeben soll, der für diese Aufgabenstellung geeignet ist.

Wäre dann WK-Raum (OMEGA,Sigma-Algebra,WK-Maß-P) richtig ?

OMEGA : {0,0.1,0.2 ..., 0.9,1}

Sigma-Algebra = Potenzmenge von OMEGA

und WK-Maß :

1. P(A) = 3/10 2. .... 3.... ?

18.07.2020, 22:08

Dopap

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Zitat:

Original von jonsnow
PS :

Ist geschnitten C(komplementär) und ohne C das Gleiche ?

Sprich : P((AuB)nC^c) = P((AuB)\C) ?

ja. Das sieht man hier. Beides ist a+d+b [attach]51745[/attach]

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