Beweis Cosinus des Drehwinkels

16.07.2020, 20:10	MaThe240916	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Cosinus des Drehwinkels Meine Frage: Durch Bestimmung der komplexen Eigenwerte einer orthogonalen Matrix A erhalte ich die folgende Formel: $\begin{eqnarray} \cos(\phi) = \dfrac{1}{2} (tr(A) - 1) \end{eqnarray}$ . In Lehrbüchern wird der Drehwinkel immer über diese Formel definiert. Ich suche nun nach einem Beweis dafür, dass der Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gerade dem Drehwinkel der durch A gegebenen Rotation entspricht und ggf. nach einer anschaulichen Erklärung. Meine Ideen: Ich habe versucht den Cosinus des von Ax und x eingeschlossenen Winkels, wobei x einen zur Drehachse orthogonal stehenden Vektor bezeichnet, über $\begin{eqnarray} \cos(Ax, x) = \dfrac{\langle Ax, x \rangle}{\vert x \vert^{2}} \end{eqnarray}$ zu bestimmen und irgendwie die komplexen Eigenwerte ins Spiel zu bringen, bin daran bisher aber gescheitert.
17.07.2020, 11:03	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Cosinus des Drehwinkels Wenn man die Drehmatrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ einer Drehung im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ um eine Achse, die durch einen Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec n=(n_1,n_2,n_3) \end{eqnarray}$ definiert ist, gemäß https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix...INU%60%22%27%7F (Drehungen um eine Ursprungsgerade) aufschreibt und die Spur ausrechnet, kommt man zu dieser Formel. Alternativ kann man die Drehmatrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auch als Produkt von Drehungen um die Koordinatenachsen schreiben und die Spur ausrechnen.
19.07.2020, 13:14	MaThe240916	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Cosinus des Drehwinkels Vielen Dank erstmal für deine Antwort! Gibt es auch eine Möglichkeit, das ausgehend von einer Matrix in Rodrigues-Parametern oder sogar einer allgemeinen orthogonalen Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zu beweisen? Denn diese Matrizen hängen ja noch nicht vom Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ab. Oder basiert jeder Beweis darauf, zuerst zu zeigen, dass eine orthogonale Matrix in der von dir verlinkten Form geschrieben werden kann?
19.07.2020, 13:30	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Cosinus des Drehwinkels Orthogonale Matrizen definieren längen- und winkeltreue Transformationen. Das sind Drehungen und Spiegelungen und Kombinationen davon: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix

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