Tensoranalysis: In welchem Raum liegt ein kontravarianter Tensor dritter Stufe?

16.07.2020, 22:08

hilbert23

Auf diesen Beitrag antworten »

Tensoranalysis: In welchem Raum liegt ein kontravarianter Tensor dritter Stufe?

Meine Frage:
In welchem Raum liegt ein kontravarianter Tensor dritter Stufe?
Die von mir besuchte Tensoranalysis-Vorlesung im Rahmen der Physik beschäftigt sich mit dem Transformationsverhalten der Komponenten der Tensoren. Leider kommt dabei viel zu kurz um welche darstellungsfreien Objekte es sich dabei handelt.

Meine Ideen:
Ein kontravarianter Tensor erster Stufe ist darstellungsfrei ein Vektor des betrachteten (endlich-dimensionalen) Vektorraumes V. Das ist in der VL erklärt worden.

Ein kontravarianter Tensor zweiter Stufe ist darstellungsfrei ein Endomorphismus von V. (Das erscheint mir plausibel, habe auch ein bißchen dazu gegoogelt)

Aber was ist ein kontravarianter Tensor 3. Stufe darstellungsfrei?
(An Tensoren mit Stufe > 3 möchte ich im Moment gar nicht denken)

17.07.2020, 08:46

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Tensoren liegen in einem Tensorraum. Die Stufe gibt an, wie oft der Vektorraum V mit sich selbst tensoriert wird.
$\begin{eqnarray*} V\cong V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V\otimes V\cong End(V) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V\otimes V\otimes V \end{eqnarray*}$ enthält Tensoren 3.Stufe.

17.07.2020, 09:42

hilbert23

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.
Ist denn für Tensoren 3. Stufe auch ein Isomorphismus bekannt?

17.07.2020, 10:08

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Definition:
Ein Tensor 3.Stufe ist eine Abblildung, welche 3 Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec c \end{eqnarray*}$ eines m dimensionalen Raumes auf eine Zahl T abbildet und zwar so, dass diese Abbildung in allen 3 Argumenten linear ist, also

$\begin{eqnarray*} T(\underbrace{\alpha_1\cdot \vec a_1+\alpha_2\cdot \vec a_2,}_{\text{Argument }\vec a}\vec b, \vec c)=\alpha_1\cdot T(\vec a_1,\vec b, \vec c)+\alpha_2\cdot T(\vec a_2,\vec b, \vec c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(\vec a, \underbrace{\beta_1\cdot \vec b_1+\beta_2\cdot \vec b_2}_{\text{Argument }\vec b}, \vec c)=\beta_1\cdot T(\vec a,\vec b_1, \vec c)+\beta_2\cdot T(\vec a,\vec b_2, \vec c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(\vec a,\vec b, \underbrace{\gamma_1\cdot \vec c_1+\gamma_2\cdot \vec c_2}_{\text{Argument } \vec c})=\gamma_1\cdot T(\vec a,\vec b, \vec c_1)+\gamma_2\cdot T(\vec a,\vec b, \vec c_2) \end{eqnarray*}$

Beispiel:
Das Volumen $\begin{eqnarray*} V(\vec a. \vec b, \vec c) \end{eqnarray*}$ eines 3-dimensionalen Parallelogrammes, das durch drei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a. \vec b, \vec c \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird, ist ein Tensor 3.Stufe.

Rein rechnerisch wird deser Tensor (also das Volumen) durch folgende 3-fache Summe bestimmt:

$\begin{eqnarray*} V=\sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \sum\limits_{k=1}^{3} V_{ijk} a_ib_jc_k \end{eqnarray*}$

Dabei haben die 3³=27 Komponenten des Tensors $\begin{eqnarray*} V_{ijk} \end{eqnarray*}$ (also die Koeffizienten in der Summe) folgende Zahlenwerte

$\begin{eqnarray*} V_{111}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{112}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{113}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_{121}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{122}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{123}=+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_{131}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{132}=-1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{133}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{211}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{212}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{213}=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_{221}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{222}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{223}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_{231}=+1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{232}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{233}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{311}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{312}=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{313}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_{321}=-1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{322}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{323}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_{331}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{332}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} V_{333}=0 \end{eqnarray*}$

In der Mathematik bezeichnet man diese Volumenfunktion eines n-dimensionalen Parallelogrammes auch als "Determinante".

Bemerkung:
Wenn man das Koordinatensystem ändert, bekommen die Komponenten $\begin{eqnarray*} a_i, b_j, c_k \end{eqnarray*}$ der 3 Vektoren andere Zahlenwerte. Natürlich darf sich dabei das Volumen des 3-dimensionalen Parallelogrammes nicht ändern. Damit dies sicher gestellt ist, müssen die 3³=27 Komponenten $\begin{eqnarray*} V_{ijk} \end{eqnarray*}$ des Tensors ebenfalls auf bestimmte Art transformiert werden. Diese Transformation geschieht kontragredient zu den Komponenten der Argumente.

18.07.2020, 01:34

hilbert23

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Frage zielt darauf:

V ist ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. K Körper

Kontravarianter Tensor a der Stufe 1 := a Element von Linearform(V*, K). Linearform(V*, K) isomorph zu V (gemäß Vorlesung)
Kontravarianter Tensor a der Stufe 2 := a Element von Linearform(V*, V*, K). Linearform(V*, V*, K) isomorph zu End(V) (gemäß Elvis)
Kontravarianter Tensor a der Stufe 3 := a Element von Linearform(V*, V*, V*, K). Linearform(V*, V*, V*, K) isomorph zu ? (gemäß ?)

@Ehos: "Das Volumen ... ist ein Tensor 3. Stufe". Ein Volumen ist ein Skalar. Daher ist es bestenfalls ein Tensor 0. Stufe.

18.07.2020, 20:29

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Vektorräume seien über dem selben Körper und endlichdimensional. Tensoren kann man stürzen, das ist eine Verallgemeinerung der dualen Paarung. Die Indizes, über die man stürzt, müssen dabei allerdings dual zueinander sein.

Stürzt man nun einen Tensor aus $\begin{eqnarray*} U^*\otimes V \end{eqnarray*}$ mit einem Vektor aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , kommt da ein Vektor aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ bei raus. Die so formulierte Abbildung $\begin{eqnarray*} U\to V \end{eqnarray*}$ ist linear und das Stürzen erwirkt einen Isomorphismus dahin, so dass

$\begin{eqnarray*} (1)\quad U^*\otimes V \cong \operatorname{Hom}(U,V). \end{eqnarray*}$

Demnach ist genauer gesagt

$\begin{eqnarray*} V^*\otimes V \cong \operatorname{End}(V). \end{eqnarray*}$

Dagegen ist $\begin{eqnarray*} V^*\otimes V^*\cong\operatorname{Hom}(V,V^*) \end{eqnarray*}$ .

Beachten wir nun, dass in (1) für $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Vektorraum eingesetzt werden darf, können wir $\begin{eqnarray*} V:=V_1\otimes\ldots\otimes V_n \end{eqnarray*}$ setzen. Das liefert uns

$\begin{eqnarray*} U^*\otimes V_1\otimes \ldots \otimes V_n\cong\operatorname{Hom}(U,V_1\otimes\ldots\otimes V_n), \end{eqnarray*}$

und damit speziell

$\begin{eqnarray*} V^*\otimes V^*\otimes V^* \cong \operatorname{Hom}(V,V^*\otimes V^*). \end{eqnarray*}$

Im Weiteren können wir nun brachial auch doch noch $\begin{eqnarray*} V\otimes V\cong\operatorname{End}(V) \end{eqnarray*}$ bekommen, indem wir ausnutzen dass endlichdimensionale Vektorräume der gleichen Dimension isomorph zueinander sind. Allerdings stellt sich dann die Frage, ob diese Isomorphie in irgendeiner Hinsicht natürlich ist. Die Antwort darauf ist vermutlich nein, weil es schon zwischen einem Vektorraum und dessen Dualraum keinen natürlichen Isomorphismus gibt.

Anzeige

18.07.2020, 22:26

hilbert23

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort, die auch meine eigentliche Frage beantwortet.

Du sprichst in deiner Antwort von einem "natürlichen" Isomorphismus. Was aber ist die Abgrenzung zwischen einem "natürlichen" Isomorphismus und einem
dann notgedrungen "nicht-natürlichen" Isomorphismus?

Kurzum: Wie ist ein "natürlicher" Isomorphismus definiert?

18.07.2020, 23:25

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Also es gibt natürlich in zwei Bedeutungen, einmal im Sinne von kanonisch und einmal bezüglich sogenannter natürlicher Transformationen. Ich beziehe mich hier auf die erste Bedeutung. Eine synonyme Sprechweise ist ausgezeichnet.

Ein kanonisches Objekt ist ein mathematisches Objekt, dass sich in Bezug zu Definitionen -- und ggf. einem System von notwendig (wünschenswert) empfundenen Prädikaten (Prämissen, Bedinungen, Constraints) -- eindeutig ergibt.

Beispiel: Die Einbettung der reellen in die komplexen Zahlen,
$\begin{eqnarray*} \Phi\colon\mathbb R\to\mathbb C,\quad \Phi(x) = x+0i, \end{eqnarray*}$
ist eine kanonische Abbildung und auch ein kanonischer Monomorphismus.

Was sind hier die Bedingungen? Das Bild von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ sollte rein reell sein und es sollte $\begin{eqnarray*} \mathrm{Re}\circ\Phi = \operatorname{id} \end{eqnarray*}$ sein. Es gibt nur eine einzige Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ die das erfüllt, und diese ist wie gewünscht auch ein Körpermonomorphismus.

19.07.2020, 00:24

hilbert23

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sprichst von "Prämissen", "Bedingungen" und "Constraints".

Wie sind diese drei Begriffe mathematisch definiert?

19.07.2020, 01:24

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollen Synonyme für eine angenommene Voraussetzung sein. Ein System von Prädikaten kann z.B. ein System von Gleichungen sein oder allgemeiner ein System von Relationen. Ein System ist eine UND-Verknüpfung der Prädikate.

Man könnte das formal so definieren:

Gegeben sei eine Grundmenge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Es gibt ein kanonisches Objekt $\begin{eqnarray*} \Phi\in G \end{eqnarray*}$ bezüglich dem Prädikatesystem $\begin{eqnarray*} P\colon G\to \mathrm{Bool} \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} |P^{-1}(\mathrm{true})|=1 \end{eqnarray*}$ .

Verdeutlichung am Beispiel. Definition des Grundbereichs:
$\begin{eqnarray*} G := \operatorname{Abb}(\mathbb R,\mathbb C) \end{eqnarray*}$

Prädikatesystem:
$\begin{eqnarray*} P(\Phi) := (\mathrm{Im}\circ\Phi = 0)\land (\mathrm{Re}\circ\Phi = \operatorname{id}). \end{eqnarray*}$

Anderes Beispiel. Es gibt eine kanonische Surjektion $\begin{eqnarray*} M\to M/\sim \end{eqnarray*}$ .

Definition des Grundbereichs:
$\begin{eqnarray*} G := \mathrm{Sur}(M,M/\sim). \end{eqnarray*}$

Prädikatesystem:
$\begin{eqnarray*} P(\Phi) := (\forall x\in M\colon \Phi(x) = [x]). \end{eqnarray*}$

19.07.2020, 22:03

hilbert23

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dich insgesamt so verstanden:

Es gilt zwar beispielsweise:

V* x V* isomorph zu End(V) ,

aber es gibt deiner Meinung nach vermutlich für kein einziges Prädikatensystem bzgl. des
Grundbereiches

G := Menge der Isomorphismen zwischen bilinearen Abbildungen von V* x V* auf End(V)

ein kanonisches Objekt aus der Menge G.

20.07.2020, 00:09

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Na die Problematik löst sich dadurch nicht auf, sondern verlagert sich dann auf dieses Prädikatesystem. Geben tut es immer eines, sofern die Grundmenge nicht leer ist. Aber dieses soll ja selbst Ergebnis eines höheren Denkprozesses sein, das wären Symmetrie-Überlegungen oder eine Vorstellung von Anfang oder Einfachheit.

Ein Kreis hat z.B. einen natürlichen Punkt, das ist der Mittelpunkt. Aber welcher Punkt auf der Kreislinie wäre ein natürlicher Anfangspunkt? Bezüglich einem Koordinatensystem kann dafür der Punkt zum Nullwinkel genommen werden, wofür man jedoch wiederum das System erst einmal festlegen müsste.

So ist das auch bei $\begin{eqnarray*} V \cong V^* \end{eqnarray*}$ , wenn man nichts weiteres über $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ weiß. Der Isomorphismus wäre durch eine Basis eindeutig bestimmt*, wofür diese jedoch erst einmal festzulegen ist.

*Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt. Zu jeder geordneten Basis $\begin{eqnarray*} (v_k) \end{eqnarray*}$ gehört genau eine geordnete Basis $\begin{eqnarray*} (v_k^*) \end{eqnarray*}$ des Dualraums. Als Prädikat für $\begin{eqnarray*} \Phi\colon V\to V^* \end{eqnarray*}$ soll schlicht $\begin{eqnarray*} \Phi(v_k)=v_k^* \end{eqnarray*}$ erfüllt sein, weil das am einfachsten ist.

Das heißt aber nicht, dass es niemals einen kanonischen Isomorphismus geben kann. Ist z.B. als Zusatzstruktur ein (natürliches) Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ vorhanden, ist $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \Phi(v)(w) = \langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Daher besteht dieser kanonische Isomorphismus auch zwischen Tangential- und Kotangentialraum an jedem Punkt einer riemannschen Mannigfaltigkeit. Dadurch wird wiederum ein Isomorphismus zwischen Tengential- und Kotangentialbündel induziert (siehe Musical isomorphism).

Allerdings ist nun $\begin{eqnarray*} v_i^* = \Phi(v_i) \end{eqnarray*}$ nicht mehr allgemeingültig, denn dann müsste
$\begin{eqnarray*} \delta_{ij} = v_i^* (v_j) = \Phi(v_i)(v_j) = \langle v_i,v_j\rangle = g_{ij} \end{eqnarray*}$
sein, also $\begin{eqnarray*} g_{ij} = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ . Das geht nicht, wenn der Rahmen durch ein lokales Koordinatensystem induziert ist.

20.07.2020, 22:58

hilbert23

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort. Diese hat mir sehr geholfen meine ursprüngliche (bei matheboard.de unformulierte) Frage zu beantworten.

Der Begriff des Tensors ist historisch wohl ursprünglich durch die Physik motiviert worden.

Da ist in erster Linie der Spannungstensor und das Trägheitsmoment zu nennen. Dies sind beides Tensoren 2. Stufe.

Ich habe aber bisher in der Literatur keinen "physikalischen" Tensor 3.Stufe ausfindig machen können.

So versuchte ich mir zumindest einen solchen "physikalischen" Tensor 3. Stufe vorzustellen.

Durch dein Ergebnis: V* x V* x V* isomorph zu Hom(V, V* x V*) komme ich brachial zu :

V* x V* x V* isomorph zu Hom(V, V x V). (1)

Es gilt in der Physik darstellungsfrei: Drehmoment-Tensor(1. Stufe) = T ( Winkelbeschleunigungs-Tensor(1.Stufe) )

Die lineare Funktion T: V -> V wird vermittelt von einem "physikalischen" Trägheitsmoment-Tensor(2. Stufe).

Ich unterstelle für einen physikalisches System zwei Eigenschaften:

1.)
Eine gerichtete Kraft (z.B ein Hammerschlag) auf einen starres und damit definitorisch nicht deformierbares Material führt zumindest zu einer anderen Massenverteilung.

2.)
Diese Veränderung der Massenverteilung dieses Materials passiert in linearer Weise.

Ein solches durch 1.) und 2.) beschriebenes idealisiertes Verhalten eines Materials müsste man dann durch einen "physikalischen" Tensor 3. Stufe beschreiben.

21.07.2020, 11:00

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

@Hilbert23

Ich habe dir doch ein Beispiel für einen Tensor 3.Stufe angegeben:

Die von mir explizit angegeben 3³=27 Zahlen $\begin{eqnarray*} V_{ijk} \end{eqnarray*}$ , mit denen man das Volumen eines 3-dimensionalen Parallelogrammes berechnen kann, bilden einen Tensor 3.Stufe. Dieser Tensor wird oft auch als "Levi-Civita-Tensor" oder "Epsilon-Tensor" bezeichnet

Du hast geantwortet, dass das Volumen eines 3-dimensionalen Parallelogrammes ein Skalar sei und kein Tensor 3.Stufe. Das stimmt natürlich. Der Zahlenwert V des Volumens ist ein Skalar, aber die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} V_{ijk} \end{eqnarray*}$ sind ein Tensor.

Allgemein gilt: Ein Tensor m-ter Stufe in einem n-dimensionalen Raum ist eine Menge von $\begin{eqnarray*} n^m \end{eqnarray*}$ Zahlen, mit welchen man vermöge einer m-fachen Summe (mit m Indizes) einen Skalar gewinnt.

21.07.2020, 11:54

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas genauer: bezüglich einer Basis eines $\begin{eqnarray*} n^m \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Tensorraumes hat ein Tensor $\begin{eqnarray*} n^m \end{eqnarray*}$ Koordinaten im Körper (das ist das, was Ehos Zahlen nennt). Da man beliebige Vektorräume über einem Körper tensorieren kann, ist auch die Dimension eines Tensorraums beliebig, es muss also nicht immer $\begin{eqnarray*} n^m \end{eqnarray*}$ sein. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} dim (\mathbb C^2\otimes \mathbb C^3/\mathbb C)=6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dim (\mathbb C^2\otimes \mathbb C^3/\mathbb R)=24 \end{eqnarray*}$ .

Sehr nützliche Beispiele aus der Geometrie sind auch die riemannschen Krümmungstensoren: https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsch...%BCmmungstensor (das sind Tensoren 4. Stufe). Siehe auch Einsteins Relativitätstheorie.

22.07.2020, 12:47

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis
Ich verstehe nicht, dass ein Tensor der Stufe m im n-dimensionalen Raum nicht $\begin{eqnarray*} n^m \end{eqnarray*}$ Koordinaten haben muss.

Nenne bitte mal ein Gegenbeispiel - also einen Tensor 2.Stufe im 3-dimensionalen euklidischen Raum, der nicht $\begin{eqnarray*} 3^2=9 \end{eqnarray*}$ Koordinaten $\begin{eqnarray*} T_{ij} \end{eqnarray*}$ hat. Meiner Meinung nach ist ein solcher Tensor immer eine quadratische Form $\begin{eqnarray*} \vec x\cdot T\vec y \end{eqnarray*}$ , die durch eine 3x3-Matrix T mit 9 Matrixelementen vermittelt wird.

22.07.2020, 14:18

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann nicht nur Tensorräume $\begin{eqnarray*} V\otimes V \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} V\otimes W \end{eqnarray*}$ bilden, wobei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ beliebige $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorräume über dem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ sind. Zwei Beispiele für reelle und komplexe Tensorräume habe ich schon gegeben. Der Tensorraum $\begin{eqnarray*} V\otimes W \end{eqnarray*}$ wird von den reinen Tensoren $\begin{eqnarray*} v\otimes w, v\in V,w\in W \end{eqnarray*}$ erzeugt, so dass eine Basis bei festen Basen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ durch die Tensorprodukte der Basisvektoren gegeben ist. Die Dimension ist also $\begin{eqnarray*} dim (V\otimes W)=dim V\cdot dim W \end{eqnarray*}$ genau wie im Spezialfall $\begin{eqnarray*} V=W \end{eqnarray*}$ . (siehe Kowalsky "Lineare Algebra" Kapitel 11 "Multilineare Algebra")

22.07.2020, 16:44

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis
Wie gesagt - ein Tensor m-ter Stufe ist eine multilineare Abbildung, die m Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, ... \end{eqnarray*}$ aus den n-dimensionalen Vektorräumen U, V, ... auf eine Zahl abbildet. Ich behauptete, dieser Tensor hat $\begin{eqnarray*} n^m \end{eqnarray*}$ Koordinaten. Du behauptest, dass das nicht immer stimme. Das verstehe ich nicht. Nenne bitte mal ein konkretes Beispiel für solch einen Tensor. Dazu konstruiere ich folgenden einfachsten Fall für zwei Vektorräume V, W:

Sei der Vektor $\begin{eqnarray*} \omega_i \in V \end{eqnarray*}$ die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden starren Körpers und der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec n_j \in W \end{eqnarray*}$ irgendeine Raumrichtung in W mit $\begin{eqnarray*} |\vec n|=1 \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten den Trägheitstensor $\begin{eqnarray*} J_{ij} \end{eqnarray*}$ des starren Körpers mit seinen 2³=9 Koordinaten. Daraus bilden wir folgende quadratische Form:

$\begin{eqnarray*} \vec L_n=\sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} J_{ij}\omega_{i}n_{j} \end{eqnarray*}$

Physikalisch ist dies die Projektion des Drehimpulses $\begin{eqnarray*} \vec L=J\vec \omega \end{eqnarray*}$ auf die Einheitsrichtung $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ . Du behauptest, dass man einen Tensor $\begin{eqnarray*} J_{ij} \end{eqnarray*}$ der Stufe 2 konstruieren kann, der nicht 2³ Koordinaten hat, und der trotzdem beide Vektoren bilinear auf eine Zahl abbildet. Gib bitte mal für diese beiden konkereten Vektorräume $\begin{eqnarray*} \omega_i \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec n_j \in W \end{eqnarray*}$ einen solchen Tensor an.

22.07.2020, 18:10

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann nichts dafür, dass in vielen Anwendungen V und W gleiche Dimension haben und dass dies keine notwendige Voraussetzung für Tensorräume ist. Im allgemeinen spricht man von (r,s)-Tensoren : https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor Es kann sein, dass es Physiker gibt, die mit einfacheren Tensoren auskommen, es gibt auch Mathematiker, die allgemeinere Tensorräume untersuchen und benutzen.
Meine Kenntnisse über Anwendungen des täglichen Bedarfs sind vernachlässigbar. In der Zahlentheorie sind mir gelegentlich Tensorräume über den Weg gelaufen, und dabei kam es aus theoretischen Gründen hauptsächlich auf die universelle Abbildungseigenschft (UAE) des Tensorprodukts an, dass nämlich das Tensorprodukt jede bilineare Abbildung faktorisiert (siehe wiki ebenda). Sorry, auch in der theoretischsten Theorie verstehe ich (wenn überhaupt etwas) nur ein paar theoretische Teile.

23.07.2020, 04:45

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis
Du hast recht. Ich bin bisher immer von Anwendungen ausgegangen, wo die Dimensionen der beteiligten Vektorräume identisch waren. Aus mathematischer Sicht kann man natürlich Vektorräume mit unterschiedlichen Dimensionen beteiligen. Daran hatte ich bisher gar nicht gedacht.

Einfaches Beispiel:
Eine Matrix T mit 3 Zeilen und 2 Spalten ist ein (3,2)-Tensor, denn daraus kann man eine quadratische Form $\begin{eqnarray*} Q=\vec x\cdot T\vec y \end{eqnarray*}$ basteln, welche die beteiligten Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec x \in R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec y \in R^3 \end{eqnarray*}$ auf einen Skalar abbildet. Die Anzahl der Koordinaten dieses Tensors T lautet also $\begin{eqnarray*} dim(R^2)\cdot dim(R^3)=6 \end{eqnarray*}$ .

23.07.2020, 10:35

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

@Ehos
Es freut mich sehr, dass wir trotz unterschiedlicher Startpunkte durchaus fähig sind, gemeinsame Sichtweisen zu entwickeln.
@hilbert123
Ich hege die Hoffnung, dass du aus der fruchtbaren Diskussion ein wenig Nutzen ziehen kannst.

Unsere unterschiedlichen Sichtweisen bestehen noch darin, dass ich im wesentlichen von Tensorräumen ausgehe und Ihr an Tensoren denkt, wobei diese Tensoren hauptsächlich durch ihre Darstellungen als Koordinatentensoren auftreten, weshalb man dann die verschiedenen Darstellungen bei Basiswechsel betrachtet und das Transformationsverhalten im Vordergrund steht. In meinem Beispiel geht es um die Dimension des Tensorraums als Vektorraumdimension, in Ehos Beispiel geht es um die Dimension des Tensorraums als Anzahl der Komponenten eines Tensors. Derselbe Unterschied in der Betrachtungsweise tritt oft in Gesprächen über Vektorräume auf, für mich ist die Dimension eines Vektorraums eine Invariante des Vektorraums, definiert als die Mächtigkeit einer (und damit jeder) Basis, für andere ist die Dimension eines Vektorraums oftmals die Anzahl der Komponenten eines Vektors.
Eure Sicht ist berechtigt, aber sie führt dazu, dass man stets mit Darstellungen (von Vektoren, linearen Abbildungen, Tensoren) arbeitet anstatt mit den Objekten selbst. In Ehos letztem Beitrag wird das sehr deutlich, wenn er sagt "Eine Matrix T mit 3 Zeilen und 2 Spalten ist ein (3,2)-Tensor,...", das stimmt gewissermaßen, doch es gibt wie auch bei Vektoren und linearen Abbildungen bei Tensoren eine basisunabhängige Sichtweise, die ich kurz umreißen möchte. Ein Vektor ändert sich nicht, wenn man die Basis verändert, nur der zugehörige Komponentenvektor ändert sich. Eine lineare Abbildung ändert sich nicht, wenn man die Basen ändert, nur die zugehörige Darstellungsmatrix ändert sich (Stichwort Basiswechsel).
Zur basisfreien Definition von Tensorräumen habe ich schon erwähnt, dass $\begin{eqnarray*} x\otimes y \end{eqnarray*}$ reine Tensoren heißen, Tensoren sind per def endliche Linearkombinationen von reinen Tensoren. Aus der multilinearen Algebra ergeben sich Forderungen an das Tensorprodukt: $\begin{eqnarray*} (\alpha x)\otimes y=\alpha (x\otimes y)=x\otimes (\alpha y), (x+y)\otimes z=x\otimes z+y\otimes z. \end{eqnarray*}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray*} (\alpha x)\otimes y-\alpha (x\otimes y)=0, (x+y)\otimes z-x\otimes z-y\otimes z=0 \end{eqnarray*}$ . Diese Gleichungen sind es, die man der kanonischen Definition des Tensorraums $\begin{eqnarray*} V\otimes W \end{eqnarray*}$ zugrundelegt, man bildet ganz einfach den Vektoraum der Linearkombinationen reiner Tensoren und faktorisiert nach dem Untervektorraum, der von diesen Differenzen erzeugt wird. Man erzwingt praktisch die Distributivgesetze des Tensorprodukts und die Assoziativgesetze, die für die Skalarmultiplikation notwendig sind.
(Das ganze habe ich heute morgen aus meinem Gedächtnis einer Vorlesung "Lineare Algebra II" herausgekramt (1975 ?), und ich kann mich daran erinnern, dass nur wenige Hörer verstanden haben, was der Professor da gezaubert hat, konsequenterweise sind damals 90% der Teilnehmer bei der Klausur durchgefallen.)

Welchen Vorteil bietet die kanonische Definition des Tensorprodukts gegenüber der Darstellung mit Koordinaten ? Alle Rechenregeln, die man sich nur wünschen kann, gelten immer und in allen beliebigen Tensorräumen, auch in unendlichdimensionalen Hilberträumen, was man auch in der Quantenphysik gut gebrauchen kann (Hilbert und von Neumann haben das zu ihrem Vorteil zu nutzen gewußt, als sie die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik besser zu formulieren versucht haben als Dirac mit seinem (zugegeben sehr praktischen) bra-ket-Mechanismus).

24.07.2020, 23:21

hilbert23

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Ehos:

Dein Original-Zitat bei matheboard.de am 17.07.2020 10:08 Uhr MEZ:

"Das Volumen V(a, b, c) eines 3-dimensionalen Parallelogrammes, das durch die drei Vektoren a, b, c aufgespannt wird, ist ein Tensor 3.Stufe"

4 Tage später: Dein Original-Zitat bei matheboard.de am 21.07.2020 11:00 Uhr MEZ:

"Ich habe dir doch ein Beispiel für einen Tensor 3.Stufe angegeben: Die von mir explizit angegeben 3³=27 Zahlen Vijk,
mit denen man das Volumen eines 3-dimensionalen Parallelogrammes berechnen kann, bilden einen Tensor 3.Stufe."

Bitte entschuldige, irgendwie passt das nicht zusammen.

24.07.2020, 23:52

hilbert23

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Elvis:

Irgendwann muss ich dir ja furchtbar auf die Füße getreten sein?!

Ich nehme dir zumindest nicht ab, dass du meinen Nickname "hilbert23" rein zufällig in ein "hilbert123"
verwandelt hast.

"23" klingt bedeutsam , z. B. die 23 aus Hilberts Sicht bedeutsamsten ungelösten Probleme der Mathematik, die er Anfang des 20. Jahrhunderts formuliert hatte. Oder von mir aus auch die 23 Chromosomen des menschlichen Genoms.

"123" klingt dagegen trivial.

Sollte deine Zahlenauffüllung nicht auf Zufall beruhen, hast du dir bestimmt schon etwas dabei gedacht.
Vielleicht wirst du in diesem Fall deutlicher?

Zahlendreher beruhen häufig auf Zufall, bei Zahlenauffüllungen werde ich hellhörig.

Das wird bestimmt bald alles restlos aufgeklärt.

Kannst du zur Aufklärung einen Beitrag leisten?

25.07.2020, 04:56

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

@hilbert23
Aus den Koordinaten $\begin{eqnarray*} V_{ijk} \end{eqnarray*}$ des Volumentensors kann man bekanntlich per Summenbildung das Volumen des 3D-Parallelogrammes berechnen, welches seinerseits ein Skalar ist. Einfacherweise habe ich anstelle des Begriffes "Koordinaten des Volumentensors" ein einfach den Begriff "Volumen" verwendet.

Die synonyme Verwendung beider Begriffe war in der Tat ungenau. Dir kommt das Verdienst zu, diese Ungenauigkeit aufgespürt zu haben.

25.07.2020, 07:16

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

@hilbert23
Die Namensänderung war rein zufällig und völlig absichtslos, meine Augen sind nicht mehr so gut wie vor 50 Jahren.
Gefallen dir meine Bemühungen um die Aufklärung der Begriffe Tensor und Tensorraum? Kann ich sonst noch etwas für dich tun?
Dein ergebenster Diener
Elvis

25.07.2020, 13:54

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
[...] "Lineare Algebra II" [...] (1975 ?), und ich kann mich daran erinnern, dass nur wenige Hörer verstanden haben, was der Professor da gezaubert hat, konsequenterweise sind damals 90% der Teilnehmer bei der Klausur durchgefallen.)

... mein Mitgefühl ist Ihnen noch heute gewiss! Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.07.2020, 14:17

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Meines auch, aber für die anderen 10% hat es sich gelohnt, denn die wissen heute noch was ein Tensor ist und können in allen Lebenslagen damit rechnen. Wenn man ein Thema einmal wirklich verstanden hat, dann werden die schwierigsten Theorien zum Kinderspiel. Ich bin dem Professor mein Leben lang dankbar geblieben, denn er war ein Meister seines Fachs und der Didaktik, gnadenlos gegenüber den Unverständigen aber grenzenlos hilfreich gegenüber seinen Mitarbeitern.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »