Lagrange-Multiplikatoren

17.07.2020, 08:18	_Lilly_2019	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange-Multiplikatoren Meine Frage: Seien f,g : $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{n} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar, und möge f in p $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M = {x : g(x) = 0} eine lokale Maximaltelle bezüglich der Nebenbedingung x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M haben. Muss es dann ein $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ geben, so dass $\begin{eqnarray} \nabla f(p) = \lambda \nabla g(p) \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Mein Professor hat diese Frage mit nein beantwortet, jedoch verstehe ich nicht warum. Für mich wäre die Antwort ein ja gewesen, da die Formel ( $\begin{eqnarray} \nabla f(p) + \lambda \nabla g(p)= 0 \end{eqnarray}$ )um Extrema mit Nebenbedingung zu erhalten doch diese entspricht. Danke schon mal in voraus.
17.07.2020, 09:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung für lambda ist lösbar, wenn es ein lambda gibt. Aus einer Gleichung folgt nicht die Existenz einer Lösung.
17.07.2020, 11:21	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Satz über die Lagrangemultiplikatoren wird als Voraussetzung für deren Existenz genannt, dass die Funktionalmatrix $\begin{eqnarray} \frac {\partial g}{\partial x} \end{eqnarray}$ in dem Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ den vollen Rang haben muss. Bei $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Nebenbedingungen also den Rang $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ . Gibt es nur eine Nebenbedingung, muss sie den Rang $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ haben. Das bedeutet, es dürfen in dem Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ nicht alle Ableitungen von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ verschwinden.

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