Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion

19.07.2020, 16:13

jonsnow

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Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion

Meine Frage:
Hallo,

gegeben ist der Sachverhalt :

Es werden 2500 Hemden produziert und verkauft. Davon werden 20% reklamiert.

a) Geben Sie einen analytischen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit an, dass maximal 450 Hemden zurückgeschickt werden.

b) Wenden Sie den zentralen Grenzwertsatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit auf a) an.

Meine Ideen:
a) Problem ist, dass ich nicht genau weiß, was mit "analytischer Ausdruck" gemeint ist. Soll ich eine Formel angeben ? Was ist genau gefragt ?
Treffen diese 20% sicher ein ? Oder ist es nur ein "maximal" Wert ? Weil 450 Hemden ja noch unter den 20% liegt. Jedoch verstehe ich nicht wieso gefragt ist, wie hoch WK ist, dass 450 der maximal Wert ist, da 500 Stück doch dieser ist ??

- wie man sieht - bin ich sehr verwirrt.

b) Da ich a) nicht so ganz verstehe, komme ich hier auch nicht weiter. Ich kenne zwar die Formel des Grenzwertsatzes, aber anwenden, kann ich es nicht.

Bräuchte Hilfe.

Vielen Dank !

20.07.2020, 09:40

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Die Aufgabe ist ausgesprochen schlecht formuliert. Sie ist wohl so zu verstehen: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Hemd reklamiert wird, beträgt 20 %. Dann ist die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die die Zahl der reklamierten Hemden unter den 2500 verkauften Hemden angibt, binomialverteilt mit $\begin{eqnarray*} n=2500 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=0.2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist unter a) $\begin{eqnarray*} P(X \le 450) \end{eqnarray*}$ als Formel mit der Binomialverteilung anzugeben. Unter b) ist dieselbe Wahrscheinlichkeit mit der Näherung durch die Normalverteilung anzugeben einschließlich des Zahlenwerts.

20.07.2020, 13:26

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Hi,

danke, dass du mir das Gefühl gibst, nicht dämlich zu sein, weil ich den Sachverhalt selbst nicht so ganz verstehe Big Laugh

Big Laugh

.

Wie meinst du genau es bei b) ?

Meine Kommilitonen meinten, dass ich die Formel (siehe Bild) einsetzen sollte.

Ich weiß jedoch nicht, was dieses Sigma ist bzw. woher ich das bekommen soll.

20.07.2020, 13:40

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
PS :

Zu a) nochmal eine Sicherheitsfrage :

Du meinst das Einsetzen der Werte in diese Formel (siehe Bild) oder ?

20.07.2020, 14:19

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Das ist nicht ganz die richtige Formel. Deine Formel gibt für eine Binomialverteilung an, wenn man die linke Seite etwas ausführlicher schreibt:

$\begin{eqnarray*} P(X=k)= \ldots \end{eqnarray*}$

Gesucht ist aber

$\begin{eqnarray*} P(X \le k)= \ldots \end{eqnarray*}$

b) ist auch nicht korrekt. Auf jeden Fall muss da eine Gleichung stehen von der Art

$\begin{eqnarray*} P(X \le k) \approx \ldots \end{eqnarray*}$

Und diese Gleichung sollte keine undefinierten Größen enthalten. Wir sollten erst mal a) korrekt zu Ende bringen.

20.07.2020, 14:49

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
a) würde ich es dann so einsetzen :

P (X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 450) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{450} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2500 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} 0,2^{i} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (1-0,2)^{2500-i} \end{eqnarray*}$

wäre das hier der geforderte "analytische Ausdruck" ?

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20.07.2020, 14:49

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
PS: Das erste Mal, dass ich den Formeleditor benutzt habe Big Laugh

Big Laugh

20.07.2020, 15:51

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Das ist jetzt korrekt! Freude

Freude

Und es ist sehr lobenswert, dass du den Formeleditor benutzt hast.

Nun zu b): Der Ausdruck, den du oben hingeschrieben hattest, kann schon als Ausgangspunkt dienen. Er muss aber in Zusammenhang mit deiner Aufgabe gebracht werden. Er muss mit einer verbalen Aussage verbunden werden und die auftretenden Größen müssen mit deiner Aufgabe in Zusammenhang gebracht werden. Dazu folgender Hinweis: Das $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist dein $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist ja die Summe von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ identisch und unabhängig voneinander bernoulliverteilten Zufallsgrößen. $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ in deinem obigen Ausdruck sind die Parameter (Erwartungswert und Standardabweichung dieser Bernoulliverteilung.

20.07.2020, 16:25

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Danke für dein Lob !

Kurze Frage zum Lösungsansatz (Tipp) von dir :

Ich brauche für b) :

1. Sn, was das Ergebnis von a) ist

2. Mü, der Erwartungswert von a)

3. Sigma, die Wurzel der Varianz von a)

um dann es in die Formel P(X $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 450) = $\begin{eqnarray*} \frac{Sn-2500*Mü}{sigma*\sqrt{2500}} \end{eqnarray*}$

einsetzen zu können, richtig ? Oder ist es eine andere Formel ?

20.07.2020, 16:38

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Das passt so nicht. Gehen wir mal schrittweise vor. Es ist ist

$\begin{eqnarray*} X=\sum_{i=1}^{n} X_i=\sum_{i=1}^{2500} X_i \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sind alle bernoulliverteilt mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Was ist der Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Bernoulliverteilung?

20.07.2020, 17:29

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Der Erwartungswert ist denke ich ganz "simpel" : n*p, sprich : 2500*0,2 = 500

und die Standardabweichung ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{n*p*(1-p)} \end{eqnarray*}$

, sprich : 20.

Ist das korrekt ?

20.07.2020, 17:51

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Das ist korrekt und doch falsch!

Es ist korrekt, dass $\begin{eqnarray*} np \end{eqnarray*}$ der Erwartungswert und $\begin{eqnarray*} \sqrt {np(1-p)} \end{eqnarray*}$ die Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sind. In deiner Formel sind aber $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ nicht der Erwartungswert und die Standardabweichung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sondern von $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ . Darauf habe ich mehrfach hingewiesen. Es ist also $\begin{eqnarray*} \mu=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt {p(1-p)} \end{eqnarray*}$ in die Formel einzusetzen. Würde man $\begin{eqnarray*} \mu=np \end{eqnarray*}$ einsetzen, stände im Zähler $\begin{eqnarray*} S_n-n^2p \end{eqnarray*}$ und das wäre ein Faktor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu viel. Ähnlich im Nenner.

Nachdem das hoffentlich geklärt ist, was besagt denn nun die Formel und wie ergibt sich daraus die Näherung für $\begin{eqnarray*} P(X \le 450) \end{eqnarray*}$ ?

20.07.2020, 18:35

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Tatsache. Danke, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast.

Ich weiß nicht, wie ich es näher beschreiben soll oder ob denn mein Verständnis dieser Formel richtig ist, aber ich denke, dass die Formel besagt, dass bei der Hemdproduktion sich durch die WK 0,2 der Reklamation für jedes einzelne Hemd dazu führt, dass sich daraus - ähnlich zu "Das Gesetz der großen Zahlen"- eine Normalverteilung bildet, die sich $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 450 annähert.

Ich denke jedoch nicht, dass das bedeutet, dass die Reklamation an sich die 450 Stück nicht überschreiten kann, aber ich denke, dass diese 450 Stück quasi der Wert mit der höchsten WK ist.

Zudem habe ich noch eine Frage bzgl. der Formel für b).

Ist denn die Formel, die ich oben schon mal geschrieben habe - ohne Einsatz - der Werte, denn genau die Formel, die ich nutzen sollte ?

Weil irgendwie hast du es nie direkt bestätigt.

Falls ja, würde die ja unter das Einsetzen der Formeln zu folgendes führen :

$\begin{eqnarray*} \frac{Sn-n*p}{\sqrt{x(p(1-p)}*\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

20.07.2020, 19:07

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
PS unten in der Formel ist ein X zuviel =)

20.07.2020, 19:31

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Da scheint viel an Verständnis zu fehlen. Mit der Formel

$\begin{eqnarray*} Z_n=\frac {S_n-n \mu}{\sigma \sqrt n} \end{eqnarray*}$

wird einfach aus der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ eine andere Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ definiert. Für sich allein hat das überhaupt keine besondere Bedeutung. Der zentrale Grenzwertsatz besagt nun, wenn $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ die Voraussetzungen des zentralen Grenzwertsatzes erfüllt, dann ist $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ bei genügend großem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ näherungsweise standardnormalverteilt. Bei deiner Aufgabe erfüllt $\begin{eqnarray*} X=S_n \end{eqnarray*}$ die Voraussetzungen. Das aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gebildete $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ mit korrektem Einsetzen von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist also näherungsweise standardnormalverteilt.

Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird oft mit $\begin{eqnarray*} \Phi(x) \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Es ist also noch immer $\begin{eqnarray*} P(X \le 450) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \Phi(x \end{eqnarray*}$ ) auszudrücken und dann der Zahlenwert zu bestimmen.

Zitat:

Original von jonsnow
Ist denn die Formel, die ich oben schon mal geschrieben habe - ohne Einsatz - der Werte, denn genau die Formel, die ich nutzen sollte ?

Im Prinzip ja. Falls ihr in der Vorlesung das Ergebnis für binomialverteiltes $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ schon hattet, kann man sich natürlich die Ermittlung des einzusetzenden $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ sparen.

Zitat:

Falls ja, würde die ja unter das Einsetzen der Formeln zu folgendes führen :

$\begin{eqnarray*} \frac{Sn-n*p}{\sqrt{x(p(1-p)}*\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Ja, ohne das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

P.S: Wenn du in meinen Antworten auf Zitat gehst, kannst du sehen, wie man in Latex griechische Buchstaben erzeugt.

20.07.2020, 20:37

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Vielen Dank für die Bestätigung.

Wo ich mir noch nicht sicher bin ist X.

Ist der Wert von X, das Ergebnis aus a) ?

Ich weiß, dass du schon mehrmals es angeschrieben hast, aber irgendwie verstehe ich es noch nicht.

Besonders den Unterschied zwischen X und Xi.

Du hast oben ja irgendwo geschrieben, dass X = Xi ....

Deshalb dachte ich dass X quasi = Xi war, was jedoch anscheinend nicht so ist, sondern viel mehr X = Sn !

20.07.2020, 21:21

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Allmählich fällt es mir schwer, noch irgendetwas zu erklären. Bei dir geht Richtiges und Falsches so durcheinander, dass man den Überblick verliert.

Zitat:

Original von jonsnow
Ist der Wert von X, das Ergebnis aus a) ?

Nein!!!
$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ habe ich als die Zufallsgröße definiert, die die Zahl der reklamierten Hemden angibt. Als Zufallsgröße hat $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ keinen festen Wert. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann alle Werte von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2500 \end{eqnarray*}$ annehmen.

Das Ergebnis von a) war

$\begin{eqnarray*} P (X \le 450) = \sum\limits_{i=0}^{450} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2500 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} 0,2^{i} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} (1-0,2)^{2500-i} \end{eqnarray*}$

Das ist eine Wahrscheinlichkeit und nicht irgendein möglicher Wert von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich weiß, dass du schon mehrmals es angeschrieben hast, aber irgendwie verstehe ich es noch nicht.

Besonders den Unterschied zwischen X und Xi.

Du hast oben ja irgendwo geschrieben, dass X = Xi ....

Geschrieben habe ich

$\begin{eqnarray*} X=\sum_{i=1}^{n} X_i=\sum_{i=1}^{2500} X_i \end{eqnarray*}$

Weshalb ignorierst du das Summenzeichen? Schau dir noch mal den Zusammenhang zwischen Bernoulliverteilung und Binomialverteilung an!

Zitat:

Deshalb dachte ich dass X quasi = Xi war, was jedoch anscheinend nicht so ist, sondern viel mehr X = Sn !

$\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist einfach eine Zufallsgröße, die die Voraussetzungen des zentralen Grenzwertsatzes erfüllt. Da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ das tut, kann man $\begin{eqnarray*} S_n =X \end{eqnarray*}$ in die Formel einsetzen.

Um die Sache zum Abschluss zu bringen: Aus dem Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ folgt, wenn $\begin{eqnarray*} X \le 450 \end{eqnarray*}$ , dann

$\begin{eqnarray*} Z_n \le \frac {450-np}{\sqrt {np(1-p)}} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} P(X \le 450) \approx \Phi (\frac {450-np}{\sqrt {np(1-p)}}) \end{eqnarray*}$

Nun hoffe ich, dass du wenigstens das ausrechnen kannst.

21.07.2020, 00:19

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
ja, ich kann nur sagen : Danke für deine Geduld !

Das Ausrechnen ist kein Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

und ja, bei mir kommt im diesem Bereich vieles durcheinander.

Grundlos ist es jedoch nicht. Zurzeit sind die Vorlesungen alle digital und unser Dozent liest die Vorlesungen wortwörtlich nur vor und stellt es online.

Keine Erklärungen, kein gar nichts. Die Übungen bestehen momentan nur aus machen und hochladen. Das war's.

Letztlich bedanke ich mich wirklich für deine Hilfe !

Ich werde in den nächsten Tagen deine Punkte in Ruhe nochmal durchgehen und es Schritt für Schritt nachvollziehen und lernen.

Danke !

26.07.2020, 14:49

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Moin,

habe es nun denke ich "fertig", was aber nicht automatisch richtig heißt. Wink

Wink

Also :

a) Den analytischen Ausdruck habe ich nun gekürzt geschrieben als :

$\begin{eqnarray*} P \left(\sum\limits_{i=1}^{2500} X_{i} \leq 450 \right) \end{eqnarray*}$

b) Die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzen :

$\begin{eqnarray*} P\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^{2500}X_{i}- 2500*0,2}{\sqrt{2500*0,16}}\leq \frac{450-500}{\sqrt{2500*0,16}}\right) \end{eqnarray*}$

Und das ist dann $\begin{eqnarray*} = \phi \left(\frac{450-500}{50*0,4}\right) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi \left(\frac{-50}{20}\right) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \phi \left(\frac{-5}{2}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1- \phi \left(2,5\right) = 1- 0,99379 = 0,00621 \end{eqnarray*}$

c) Annäherung durch Chebyshev :

$\begin{eqnarray*} P \left(\sum\limits_{i=1}^{2500} X_{i} \leq 450 \right) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1- P \left(\sum\limits_{i=1}^{2500} X_{i} \geq 451 \right) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1- P \left(\sum\limits_{i=1}^{2500} X_{i}-0,2 \geq -49 \right) \geq \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1- P \left(|\sum\limits_{i=1}^{2500} X_{i}-0,2| \geq -49 \right) \geq \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{2500*0,16}{\left(-49\right)^{2}} = 1 - \frac{400}{2401} = \frac{2001}{2401} \end{eqnarray*}$

Sind die Ergebnisse richtig ? Besonders bei c), eigentlich Aufgabe 2 ( bezieht sich jedoch auf a), bin ich mir nicht sicher, ob denn es $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 451 oder 449 oder 450 sein soll.

Ich habe 451 genommen da ja $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ - die andere Seite - für mich bedeutet.
In den VL-Folien steht aber quasi "Formel von oben nehmen und 1- [...] größer gleich, sprich keine Veränderung. unglücklich

unglücklich

26.07.2020, 16:53

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
a) ist richtig.

c) ist von der Rechnung her zwar im Prinzip richtig aber nicht von Aufschrieb her und führt auch noch nicht zu dem gefragten Ergebnis.

Die Summe der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ schreibe ich mal kurz als $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Dann ist eine Abschätzung für $\begin{eqnarray*} P(S \le 450) \end{eqnarray*}$ gesucht. Nun ist

$\begin{eqnarray*} 2 P(S \le 450)+P(|S-500|<50)=1 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} P(S \le 450)= \frac 1 2(1-P(|S-500|<50)) \end{eqnarray*}$

Anwendung von Tschebyscheff gemäß der zweiten Form in

https://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyscheffsche_Ungleichung

ergibt:

$\begin{eqnarray*} P(|S-500|<50) \ge 1- \frac {400}{50^2}=0.84 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich schließlich

$\begin{eqnarray*} P(S \le 450) \le \frac 1 2 (1-0.84)=0.08 \end{eqnarray*}$

Man sieht, Tschebyscheff liefet ein deutlich schlechteres Ergebnis als die Rechnung mit Normalverteilung.

26.07.2020, 18:03

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Alles klar.

Ist b) auch richtig ?

PS :

Bei c) hast du mit |50| gerechnet, sprich 450-500.

Du meinst aber, dass ich c) rechnerisch im Prinzip richtig lag (?).

Jedoch habe ich mit |49|, sprich 451-500 gerechnet.

verwirrt

verwirrt

26.07.2020, 18:12

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Ja, b) ist auch richtig. Hatte ich vergessen zu notieren.

So, wie ich es aufgezogen habe, ergibt sich, dass man mit 50 rechnen sollte. Den kleinen Unterrschied hatte ich in "im Prinzip" untergebracht.

26.07.2020, 18:33

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Ah ok, danke !

26.07.2020, 18:36

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
mhm, du meinst in der letzten Zeile sicherlich :

1/2*(1-0,82)=0,08 ?

26.07.2020, 18:43

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Ja klar. Da ist beim Schreiben etwas verrutscht. Ich korrigiere es auch oben.

27.07.2020, 20:27

jonsnow

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Hey Huggy,

letzte Frage Big Laugh

Big Laugh

Warum gilt die Gleichung 2*P(Summe Xi ... ) + P(....) = 1 ?

Ich finde so eine Gleichung nirgendwo in meinem Folien.

Jedoch ist diese ja entscheidend für die richtige Lösung.

Ich denke, dass das eine Umformung von etwas ist, was ich so noch nicht erkannt habe !

Vielen Dank !

27.07.2020, 20:55

Huggy

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RE: Zentraler Grenzwertsatz - Hemdproduktion
Das basiert zunächst auf

$\begin{eqnarray*} P(S \le 450)+P(451 \le S \le 549)+P(S \ge 550)=1 \end{eqnarray*}$

und der Tatsache, dass die beiden äußeren Summanden in sehr guter Näherung gleich sind, weil die Verteilung bei dem großen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sehr symmetrisch ist. Für die Binomialverteilung stimmt das natürlich nicht ganz exakt. Für die genäherte Normalverteilung stimmt es natürlich exakt.

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