Skalarprodukt und die Division

20.07.2020, 03:18

Kazuma123

Skalarprodukt und die Division

Meine Frage:
Hallo Community!
Ich muss für mein HA den Skalarprodukt unter Voraussetzungen der Division zeigen.
In Verschiedenen Websiten lese:
1. Das die Divison nicht definiert ist.
2. Wenn ich die Formel v*w=u umforme auf v/u, habe ich unendlich viele w Vektor Möglichkeiten.
3. Das Skalarprodukt ist keine Multiplikation.
Diese 3 Punkte verstehe ich nicht ganz genau und ich hoffe ihr könnt es mit Beispielen (Besonders 2.) Mir es genauer erklären.

MfG

Meine Ideen:
Mein Ansatz zum 3 Punkt wäre es mit der Grundlage der Kosinussatz zu beweisen, aber ich weiß nicht, ob das als Argument recht. Bei den ersten beiden Punkten habe ich mit v (3,2,1) w (1,2,3) und u 10 probiert und umgeformt. Dabei kam ich auf ganz andere Ergebnis raus.

20.07.2020, 06:24

Finn_

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Zu 1 und 2. Auf diese Frage habe ich genau so wenig eine Antwort, weil ich nicht weiß was mit "die Division" gemeint sein soll.

Gegeben sei ein euklidischer Raum mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \langle v,x\rangle = c \end{eqnarray*}$ beschreibt für einen festen Skalar $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und einen festen Vektor $\begin{eqnarray*} v\ne 0 \end{eqnarray*}$ eine Hyperebene. Diese Hyperebene können wir als Ergebnis der Division $\begin{eqnarray*} c/v \end{eqnarray*}$ definieren.

Die Hyperebene besitzt nun einen kanonischen Repräsentanten, nämlich den Normalenvektor der Hyperebene, der vom Koordinatenursprung aus auf die Hyperebene zeigt. Das ist $\begin{eqnarray*} x=c/v \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \frac{c}{v} := \frac{c}{|v|^2}v. \end{eqnarray*}$

Zum einen besitzt $\begin{eqnarray*} c/v \end{eqnarray*}$ die gewünschte Divisions-Eigenschaft, denn
$\begin{eqnarray*} \langle v,\frac{c}{|v|^2}v\rangle = \frac{c}{|v|^2}\langle v,v\rangle = \frac{c}{|v|^2}|v|^2 = c. \end{eqnarray*}$

Zum anderen ist $\begin{eqnarray*} c/v \end{eqnarray*}$ normal auf der Hyperebene, denn $\begin{eqnarray*} c/v \end{eqnarray*}$ ist kollinear zu $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist normal auf der Hyperebene, weil $\begin{eqnarray*} \langle v,x\rangle = c \end{eqnarray*}$ äquivalent zur hesseschen Normalform
$\begin{eqnarray*} \langle\frac{v}{|v|},x\rangle = \frac{c}{|v|} \end{eqnarray*}$
ist.

20.07.2020, 06:35

Finn_

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Die hessesche Normalform ist genauer gesagt

$\begin{eqnarray*} \langle\operatorname{sgn}(c)\frac{v}{|v|},x\rangle = \operatorname{sgn}(c)\frac{c}{|v|}. \end{eqnarray*}$

20.07.2020, 07:34

Finn_

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Diese Zeichnung zeigt $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in Blau und den Quotient $\begin{eqnarray*} c/v \end{eqnarray*}$ in Grün, wobei $\begin{eqnarray*} c,v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ über Regler einstellbar sind.

20.07.2020, 12:45

Kazuma1234

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Danke Fynn für deine Antwort, aber ich hätte dazu jetzt noch mehr Fragen.
1. Wie genau kann ich argumentieren oder beweisen, dass das Skalarprodukt keine Multiplikation ist? Das ist für mich sehr entscheidend
2. Hyperebene und eukladischen Raum haben in der Schule nicht durch genommen. Wäre es möglich es mir genauer zu erklären ( solange es kein riesen Aufwand macht)

MfG

Kazuma123

20.07.2020, 13:22

Elvis

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Eine Multiplikation $\begin{eqnarray*} \otimes :M\times M\to M, (a,b)\mapsto c:=a\otimes b \end{eqnarray*}$ ordnet zwei Elementen einer Menge ein Element derselben Menge zu. Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren (Elemente eines Vektorraums) nicht einen Vektor sondern einen Skalar (Element des Körpers) zu, also ist ein Skalarprodukt keine Multipikation.

20.07.2020, 14:06

Finn_

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Die Skalarmultiplikation hat die Signatur $\begin{eqnarray*} K\times V\to V \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ der Körper der Skalare ist und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der Vektorraum über diesem Körper. Z.B. ist $\begin{eqnarray*} K=\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

@Elvis Für $\begin{eqnarray*} V\ne K \end{eqnarray*}$ ist die Skalarmultiplikation dann keine Multiplikation im eigentlichen Sinn, obwohl da dieses Wort drin steckt.

Zur Hyperebene. Gegeben ist ein euklidischer Raum einer bestimmten Dimension. Eine Hyperebene dieses Raums ist ein ungekrümmter Unterraum, dessen Dimension um eins kleiner ist. In der Ebene ist das schlicht eine Gerade und im Raum ist das eine Ebene.

20.07.2020, 14:56

Finn_

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@Elvis

Ich kann doch einem Skalar $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zuordnen und einem Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 & v_2\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Für das Skalarprodukt gilt dann
$\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle = v w^T = \begin{pmatrix} v_1 & v_2\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} w_1 & 0\\ w_2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 w_1 + v_2 w_2 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt eine Operation $\begin{eqnarray*} M\times M\to M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M=K^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ .

Außerdem ist Multiplikation von Skalaren und Skalarmultiplikation zu einer gemeinsamen Operation zusammengefasst.

Die Multiplikation von Skalaren ist
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor ist
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_1 & v_2\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} rv_1 & rv_2\\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

20.07.2020, 15:06

Elvis

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Das hast du gut gemacht, dann muss ich nicht mehr zwischen Multiplikation, skalarer Multiplikation und Skalarprodukt unterscheiden. Das muss man nur noch für beliebige Vektorräume aufschreiben... ist das trivial?

20.07.2020, 15:55

Finn_

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Na bei einem beliebigen reellen euklidischen Vektorraum $\begin{eqnarray*} (V,\langle\cdot,\cdot\rangle) \end{eqnarray*}$ ist doch eine Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wählbar, so dass $\begin{eqnarray*} v_B\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bzw. nun $\begin{eqnarray*} v_B\in \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ der darstellende Koordinatenvektor zum Vektor $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ ist. Dann gilt
$\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle = v_B G w_B^T, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die gramsche Matrix, d.h. Darstellungsmatrix des Skalarproduktes bezüglich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , ist. Wenn man für $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis wählt, ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix und darf entfallen.

Die Skalare sind quadratische Matrizen der Form
$\begin{eqnarray*} r \hat = \begin{pmatrix} r & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Die Koordinatenvektoren sind quadratishe Matrizen der Form
$\begin{eqnarray*} v_B\hat = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \ldots & v_n\\ 0 & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Nun besteht offenbar die Komplikation, dass die Skalare abhängig von der gewählten Basis wären, würden sie als spezielle Vektoren interpretiert.

20.07.2020, 19:12

Kazuma12345

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Vielen Dank ihr beiden, Jetzt ist das ganze mir klar geworden.
Könntet ihr mir erklären und beweisen wieso das KREUZPRODUKT keine Multiplikation ist? Denn sie gibt ja ein Vektor.

MfG

Kazuma12345

20.07.2020, 19:55

Elvis

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Das hätte ich nun aus eben diesem Grund für eine (äußere) Multiplikation gehalten. Andere Kollegen nennen das auch so: https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84u%C3%9Feres_Produkt

20.07.2020, 21:11

Finn_

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Es mag irgendwo Mathematiker geben, die eine absolut klare Anschauung haben, tief und rein wie der Baikalsee, was unter einer Multiplikation zu verstehen sei. Mir liegt so ein tiefgreifendes Verständnis aber leider nicht vor, und darum würde ich für Schüler empfehlen, sich auf Begriffe zu beschränken, über die Konsens besteht.

Bspw. ist die Signatur $\begin{eqnarray*} *\colon M\times M\to M \end{eqnarray*}$ bereits so allgemein, dass man $\begin{eqnarray*} M:=\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a*b:=a+b \end{eqnarray*}$ setzen kann. Man nennt $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ wohl nur deshalb eine Multiplikation, weil es so geschrieben wird. Die präzise Bezeichnung dafür lautet Magma.

In der Mathematik gibt es genau definierte Begriffe wie unter anderem kommutative Verknüpfung, assoziative Verknüpfung, lineare Abbildung, bilineare Abbildung. Ob eine Verknüpfung diese Eigenschaften hat, lässt sich klar mit ja oder nein beantworten und beweisen.

Was ich zum Kreuzprodukt sagen kann, ist, dass das Ergebnis ein Pseudovektor ist, da sich das Kreuzprodukt nicht mit Raumspiegelung am Ursprung bzw. Änderung der Händigkeit des Koordinatensystems verträgt.

20.07.2020, 21:29

Finn_

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Das heißt nicht, dass die Erstellung eigener Definitionen unerlaubt wäre. Diese Definitionen sind dann aber mitzuliefern, damit darauf Bezug genommen werden kann.

20.07.2020, 21:59

Leopold

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Zitat:

Original von Kazuma12345
Könntet ihr mir erklären und beweisen wieso das KREUZPRODUKT keine Multiplikation ist? Denn sie gibt ja ein Vektor.

Ich halte diese Aussage nicht für sinnvoll. Denn dazu müßte es ja einen übergeordneten Multiplikationsbegriff geben. Den gibt es aber nicht. Vielmehr ist es so, daß, wenn man eine Operation Multiplikation nennt, der zugehörige Term Produkt heißt.

Und daß man sowohl beim Skalarprodukt $\begin{align*} \bullet \end{align*}$ als auch beim Vektorprodukt $\begin{align*} \times \end{align*}$ von Produkt spricht, liegt einfach daran, daß mit der vorgelagerten Vektoraddition die Distributivgesetze gelten:

$\begin{align*} \vec{x} \bullet \left( \vec{y} + \vec{z} \right) = \vec{x} \bullet \vec{y} + \vec{x} \bullet \vec{z} \, , \ \ \left( \vec{x} + \vec{y} \right) \bullet \vec{z} = \vec{x} \bullet \vec{z} + \vec{y} \bullet \vec{z} \end{align*}$

$\begin{align*} \vec{x} \times \left( \vec{y} + \vec{z} \right) = \vec{x} \times \vec{y} + \vec{x} \times \vec{z} \, , \ \ \left( \vec{x} + \vec{y} \right) \times \vec{z} = \vec{x} \times \vec{z} + \vec{y} \times \vec{z} \end{align*}$

@ Kazuma12345

Die Aufgabenstellung ist unklar. Besser wäre es, du würdest die originale Formulierung angeben. Ich habe nämlich die Vermutung, daß du da Dinge falsch paraphrasierst.

20.07.2020, 22:42

Kazuma 34

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Ich soll die Idee der Division als Umkehr Operator der Multiplikation nachweisen, inwiefern sie ausführbar ist.
Bei meiner Recherche lese ich oft das Skalarprodukt sowohl Kreuzprodukt keine Multiplikation ist und somit die Grundidee Der Division nicht möglich ist. Deswegen wollte ich nachweisen wieso es keine Multiplikation ist und Die Divison Fehl am Platz ist.
Mir fehlt quasi den Beweis und den Verständnis.
Ich hoffe das Hilft.

Kazuma12345

20.07.2020, 23:01

Leopold

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Ich würde das anders formulieren und nicht auf den Begriff der Multiplikation abstellen. Vielmehr könnte man fragen:

Wieso gibt es sowohl beim Skalarprodukt als auch beim Vektorprodukt keine Division?

Und da wäre zunächst die Frage: Was ist eine Division?

Hat man eine Multiplikation, die ich für die theoretischen Betrachtungen einmal mit $\begin{align*} \star \end{align*}$ bezeichne, so spricht man von einer Division, wenn bei gegebenen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ die Gleichungen

$\begin{align*} a \star x = b \, , \ \ y \star a = b \end{align*}$

eindeutige Lösungen $\begin{align*} x,y \end{align*}$ besitzen. $\begin{align*} a,b,x,y \end{align*}$ müssen hier derselben Menge angehören, über der die Multiplikation $\begin{align*} \star \end{align*}$ definiert ist. Beim Skalarprodukt $\begin{align*} \bullet \end{align*}$ ist schon der Ansatz sinnlos:

$\begin{align*} \vec{a} \bullet \vec{x} = \vec{b} \end{align*}$

Warum?

Und beim Vektorprodukt $\begin{align*} \times \end{align*}$ ist zwar der Ansatz noch sinnvoll:

$\begin{align*} \vec{a} \times \vec{x} = \vec{b} \end{align*}$

Denn warum sollte es kein solches eindeutig bestimmtes $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ geben? Das muß man dann eben genauer untersuchen.

21.07.2020, 00:53

Luftikus

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RE: Skalarprodukt und die Division

Zitat:

Original von Kazuma123

1. Das die Divison nicht definiert ist.
2. Wenn ich die Formel v*w=u umforme auf v/u, habe ich unendlich viele w Vektor Möglichkeiten.
3. Das Skalarprodukt ist keine Multiplikation.

Kurz gesagt, sind folgende Gleichungen für x nicht eindeutig:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{x} = 1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times \vec{x} = \vec e \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt ist nicht assoziativ

$\begin{eqnarray*} \vec a (\vec b \cdot \vec c) \neq (\vec a \cdot \vec b) \vec c \end{eqnarray*}$

21.07.2020, 02:50

kazuma5565

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Sowie ich es verstanden habe, kann ist das Skalarprodukt keine Multiplikation, da sie den Ansatz der Menge nicht entspricht? Also R^2 ungleich R

Vektor (a,b) * Vektor (c,d)= Skalar e

Und beim Kreuzprodukt könnte es bei der Definition Vektor x scheitern? Und mit nicht definiert heisst für mich es gibt unendliche Vektoren Kombination für x

Was noch für mich ein Problem ist, ist die anschließende Addition. Soll ich sie weglassen, ersetzen mit der Subtraktion oder weiterhin Nutzen?

Vielleicht komme ich euch wie ein Idiot vor und es tut mir wirklich leid. Aber ich will es wirklich Verstehen und begreifen.

Kazuma123

21.07.2020, 17:24

Finn_

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Also im Zusammenhang mit der Vektorrechnung gibt es die genau definierten Begriffe bilineare Abbildung, Algebra (über einem Körper, das sind hier die reellen Zahlen) und Divisionsalgebra.

Eine bilineare Abbildung ist eine Verknüpfung $\begin{eqnarray*} v*w \end{eqnarray*}$ , die wie schon angesprochen von links und rechts das Distributivgesetz in Bezug zur vektoriellen Addition erfüllt. Zusätzlich gilt ein Verträglichkeitsgesetz in Bezug zur Skalarmultiplikation, das analog zum Kommutativgesetz und Assoziativgesetz ist.

Sowohl das Skalarprodukt als auch das Kreuzprodukt sind bilineare Abbildungen. Die Beweise sind nicht besonders schwierig, man muss bloß Nachrechnen.

Das Standardskalarprodukt ist für zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v:=\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w:=\begin{pmatrix}w_1 \\ w_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so definiert:
$\begin{eqnarray*} v\bullet w = \langle v,w\rangle := v_1 w_1 + v_2 w_2. \end{eqnarray*}$

Für das Distributivgesetz von links rechnet man bspw.:
$\begin{eqnarray*} \langle w,u+v\rangle = w_1 (u_1+v_1) + w_2 (u_2+v_2) = w_1 u_1 + w_2 u_2 + w_1 v_1 + w_2 v_2 = \langle w,u\rangle + \langle w,v\rangle. \end{eqnarray*}$

Eine Algebra ist ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit einer bilinearen Abbildung der Signatur $\begin{eqnarray*} V\times V\to V \end{eqnarray*}$ . Diese Abbildung nennen wir dann Multiplikation, oder genauer, innere Multiplikation.

Das Skalarprodukt hat dafür die falsche Signatur, es sei denn $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Das Kreuzprodukt macht den Vektorraum tatsächlich zu einer Algebra, existiert jedoch nur für $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Eine (echte) Division, dass sich die Verknüpfung/Multiplikation (mit einem Vektor ungleich Nullvektor) eindeutig wieder rückgängig machen lässt, gibt es weder für das Skalarprodukt noch für das Kreuzprodukt. Beim Kreuzprodukt liegt demnach auch keine Divisionsalgebra vor.

Beim Skalarprodukt ist $\begin{eqnarray*} \langle\vec v,\vec x\rangle =c \end{eqnarray*}$ wie schon besprochen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} v_1 x + v_2 y = c \end{eqnarray*}$ , das ist die allgemeine Gleichung einer Geraden, die immer unendlich viele Lösungen besitzt. Die Bedingung $\begin{eqnarray*} \vec v \ne 0 \end{eqnarray*}$ sorgt gerade dafür, dass da nicht die unlösbare Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=c \end{eqnarray*}$ bei rauskommt.

Divisionsalgebren sind ganz spezielle Dinger. Fast nichts ist eine Divisionsalgebra. Algebren gibt es dagegen ziemlich viele.

26.07.2020, 20:54

Kazuma12305

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Hey ich bins wieder Kazuma. Ich habe alles soweit verstanden und mir fehlt noch ein Puzzelteil. Beim Kreuzprodukt gibt es kein eindeutiges x aber mit welchen verfahren kann man das nachweisen? Meine Idee: eine Komponentenweise Division oder habt ihr eine andere Idee oder ist meine Idee Schwachsinnig

MfG

Kazuma

26.07.2020, 23:35

Finn_

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Das ist nicht weiter schwer. Also es geht um $\begin{eqnarray*} \vec a\times\vec x = \vec b \end{eqnarray*}$ . Legen wir das Koordinatensystem so, dass $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ in der Ebene liegen, ist das die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x \\ y\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ b_3\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$
Demzufolge muss
$\begin{eqnarray*} a_1 y - a_2 x = b_3 \end{eqnarray*}$
erfüllt sein. Das geht für $\begin{eqnarray*} b_3\ne 0 \end{eqnarray*}$ wieder nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} \vec a\ne\vec 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es unendlich viele Lösungen $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , weil wieder allgemeine Geradengleichung.

27.07.2020, 07:20

Leopold

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Man kann das Problem auch ganz allgemein lösen. Seien also $\begin{align*} \vec{a}, \vec{b} \end{align*}$ vorgegebene Vektoren des dreidimensionalen euklidischen Raumes. Gesucht sind alle Vektoren $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ , die die Gleichung

$\begin{align*} \vec{a} \times \vec{x} = \vec{b} \end{align*}$

erfüllen.

Ein Sonderfall vorweg, nämlich daß $\begin{align*} \vec{a} = \vec{o} \end{align*}$ der Nullvektor ist. Ist auch noch $\begin{align*} \vec{b} = \vec{o} \end{align*}$ , so wird die Gleichung von allen Vektoren $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ gelöst, im andern Fall von keinem. Was diesen Sonderfall angeht, verhält sich das Vektorprodukt also ganz so, wie man es von einer Null erwartet.

Von jetzt ab sei $\begin{align*} \vec{a} \neq \vec{o} \end{align*}$ . Bekanntermaßen bestimmt das Vektorprodukt einen Vektor, der auf beiden Kreuzfaktoren senkrecht steht. Sind daher $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ nicht orthogonal, ist die Gleichung von vorneherein unlösbar.

Jetzt bleibt noch der Fall, daß $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ orthogonal sind, ihr Skalarprodukt $\begin{align*} \vec{a} \bullet \vec{b} \end{align*}$ also $\begin{align*} = 0 \end{align*}$ ist. Dann definiert man den Vektor

$\begin{align*} \vec{c} = \frac{1}{\left| \vec{a} \right|^2} \vec{b} \times \vec{a} \end{align*}$

Wegen der Rechengesetze für das Vektorprodukt, insbesondere der Graßmann-Identität, folgt:

$\begin{align*} \vec{a} \times \vec{c} = \vec{a} \times \left( \frac{1}{\left| \vec{a} \right|^2} \vec{b} \times \vec{a} \right) = \frac{1}{\left| \vec{a} \right|^2} \left( \vec{a} \times \left( \vec{b} \times \vec{a} \right) \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{1}{\left| \vec{a} \right|^2} \left( \left( \vec{a} \bullet \vec{a} \right) \vec{b} - \underbrace{\left( \vec{a} \bullet \vec{b} \right)}_{=0} \vec{a} \right) = \frac{1}{\left| \vec{a} \right|^2} \cdot \left| \vec{a} \right|^2 \cdot \vec{b} = \vec{b} \end{align*}$

Man kann die Gleichung daher umformen:

$\begin{align*} \vec{a} \times \vec{x} = \vec{b} \end{align*}$

$\begin{align*} \vec{a} \times \vec{x} = \vec{a} \times \vec{c} \end{align*}$

$\begin{align*} \vec{a} \times \left( \vec{x} - \vec{c} \right) = \vec{o} \end{align*}$

Diese Gleichung gilt dann und nur dann, wenn die Kreuzfaktoren linear abhängig sind, es also einen Skalar $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ gibt mit

$\begin{align*} \vec{x} - \vec{c} = \lambda \vec{a} \end{align*}$

$\begin{align*} \vec{x} = \vec{c} + \lambda \vec{a} \end{align*}$

Das ist aber die Parameterdarstellung einer Geraden mit dem Stützvektor $\begin{align*} \vec{c} \end{align*}$ und dem Richtungsvektor $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ .

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