Vektor in anderer Basis darstellen

20.07.2020, 14:25

BasisA

Vektor in anderer Basis darstellen

Hi,

Ein Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist in dieser Basis $\begin{eqnarray*} B_{old}=\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ dargestellt.

Nun soll genau dieser Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ in einer anderen Basis $\begin{eqnarray*} B_{neu}=\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ dargestellt werden.

Meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

LGS:

$\begin{eqnarray*} 6 = x + 2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 = 2x + 3y \end{eqnarray*}$

Lösung:
$\begin{eqnarray*} x= -10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 8 \end{eqnarray*}$

Heißt das der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ heißt in der Basis $\begin{eqnarray*} B_{new} \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -10 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

20.07.2020, 15:18

Helferlein

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Nicht ganz. Du hast als erste Basis die kanonische genommen.

20.07.2020, 15:39

Finn_

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Praktischer Trick: Der Basis $\begin{eqnarray*} A=(\begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22}\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ wird die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zugeordnet.

Ist nun $\begin{eqnarray*} v_A=\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der Koordinatenvektor zum Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bezüglich Basis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} v = x' \begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21}\end{pmatrix} + y' \begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x'+a_{12}y' \\ a_{21}x'+a_{22}y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = Av_A. \end{eqnarray*}$

Mit einer zweiten Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} v=Bv_B \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} v_B=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gesucht ist.

Nun kann man $\begin{eqnarray*} Bv_B = v = (Av_A) \end{eqnarray*}$ als lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} v_B \end{eqnarray*}$ lesen. (Oder man multipliziert auf beiden Seiten von links mit der inversen Matrix $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ .)

Das LGS in $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ist also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

20.07.2020, 17:08

BasisA

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Gut ich wende das mal auf mein Beispiel an:

Mein ein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Matrix ist dann:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Matrix ist:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich:

$\begin{eqnarray*} v =\begin{pmatrix}6 \\ 4 \end{pmatrix} = x' \begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21}\end{pmatrix} + y' \begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x'+a_{12}y' \\ a_{21}x'+a_{22}y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = Av_A. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v =\begin{pmatrix}6 \\ 4 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2+2\cdot 2 \\ 1 \cdot 2+1\cdot 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} = Av_A. \end{eqnarray*}$

Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

LGS:

$\begin{eqnarray*} x+2y = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+3y=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 8 \end{eqnarray*}$

Was habe ich falsch gemacht Big Laugh

21.07.2020, 10:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von BasisA
Nun habe ich:

$\begin{eqnarray*} v =\begin{pmatrix}6 \\ 4 \end{pmatrix} = x' \begin{pmatrix}a_{11} \\ a_{21}\end{pmatrix} + y' \begin{pmatrix}a_{12} \\ a_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}x'+a_{12}y' \\ a_{21}x'+a_{22}y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix} = Av_A. \end{eqnarray*}$

Hier liegt schon der Hase im Pfeffer. Der Vektor $\begin{eqnarray*} v =\begin{pmatrix}6 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist in der Basis $\begin{eqnarray*} B_{old} \end{eqnarray*}$ dargestellt. Bezüglich der obigen Gleichung ist also x' = 6 und y' = 4. smile

21.07.2020, 12:20

BasisA

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Ahh! So ist das zu verstehen, ich dachte man müsse den Vektor als eine Linearkombination auffassen...

Dann käme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14 \\ 10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit der Inversen multiplizieren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}14 \\ 10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = -22 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 18 \end{eqnarray*}$

So müsste es nun passen?

21.07.2020, 14:01

klarsoweit

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Ja, das Ergebnis ist ok. Du solltest aber die Variablen x und y unterschiedlich kennzeichnen, um die unterschiedliche Bedeutung herauszustellen.

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