Polynomdivision in F11

21.07.2020, 11:04	BootyFreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivision in F11 Meine Frage: Hallo zusammen, Ich versuche folgende Aufgabe zu lösen:Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms P(x) = x4 +10x3 +9x2 +3x+1 ¨uber F11 inklusive ihrer Vielfachheiten! Ich verstehe wie Polynomdivision funktioniert, nur muss man am Anfang eine Nullstelle erraten bzw durch probieren finden und ich verstehe nicht so ganz wie das geht da wir uns ja in F11 bewegen. Meine Ideen: Mein Ansatz ist dass ich am alle Koeffizienten in P(x) modulo 11 nehme aber ich glaube das ist nicht richtig. Eine erklärung wie ich am Anfang an die Nullstelle komme wäre sehr hilfreich, vielen Dank
21.07.2020, 11:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb F_{11} \end{eqnarray}$ hat nur 11 Elemente. Man setzt sie ein, und wenn modulo 11 0 herauskommt, hat man eine Nullstelle a. Dann macht man Polynomdivision p(x)/(x-a) modulo 11. Es kann ja sein, dass es eine Nullstelle und ein Polynom 3. Grades als Faktoren oder 2 quadratische Faktoren gibt oder 4 Nullstellen oder keine, oder das p(x) irreduzibel modulo 11 ist.
21.07.2020, 13:18	bartmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Aufwand beim durchprobieren könnte sich verkürzen, wenn man kleinere Zahlen erzeugt: $\begin{eqnarray} P(x)=x^4-x^3-2x^2+3x+1 \end{eqnarray}$ Statt Werte von 0 bis 10 einzusetzen, könnte man auch mit -5 bis 5 arbeiten.
21.07.2020, 14:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 7^2\equiv 5 \mod 11 \end{eqnarray}$ so kann man auch schon beim potenzieren schneller rechnen. Die Vorzeichen lasse ich lieber weg, weil ich sonst schneller Fehler mache.
22.07.2020, 08:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Probiert man alles durch, stellt man fest, daß -2 die einzige Nullstelle ist. Wegen $\begin{align} P(-2) = P'(-2) = 0 \end{align}$ und $\begin{align} P''(-2) \neq 0 \end{align}$ besitzt -2 die Ordnung 2. Somit kann man $\begin{align} (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \end{align}$ abspalten. Der Quotient muß dann ein normiertes irreduzibles quadratisches Polynom sein (sonst besäße $\begin{align} P(x) \end{align}$ eine weitere Nullstelle): $\begin{align} x^4 - x^3 - 2x^2 + 3x + 1 = \left( x^2 + 4x + 4 \right) \left( x^2 + bx + c \right) \end{align}$ Ein Koeffizientenvergleich der Glieder vom Grad 0 liefert $\begin{align} 4c=1 \end{align}$ , also $\begin{align} c=3 \end{align}$ . Jetzt vergleicht man noch die Glieder vom Grad 1 und bekommt $\begin{align} 4c+4b=3 \end{align}$ , also $\begin{align} 4b=2 \end{align}$ , somit $\begin{align} b=-5 \end{align}$ .
22.07.2020, 11:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die Idee, die Ableitungen zu betrachten, bin ich nicht gekommen. Das werde ich mir merken.
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