Kubikwurzel aus negativer Zahl

21.07.2020, 14:52

Smombie

Kubikwurzel aus negativer Zahl

Meine Frage:
Hallo...

ich sitze gerade vor $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-27} \end{eqnarray*}$ ...

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-27} \end{eqnarray*}$ ist ja die Antwort auf die Frage, welche Zahl dreimal mit sich multipliziert -27 ergibt. Und das ist doch -3, oder? Weil $\begin{eqnarray*} -3\cdot (-3)\cdot (-3) =-27 \end{eqnarray*}$

21.07.2020, 14:58

adiutor62

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RE: Kubikwurzel aus negativer Zahl
Der Sachverhalt ist umstritten:
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Quadrat-_und_Kubikwurzel

Im Schulbereich ist es so, wie du schreibst.

21.07.2020, 15:34

Smombie

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RE: Kubikwurzel aus negativer Zahl
Ok, danke! Sehr interessant muss ich sagen!

21.07.2020, 16:11

dusche

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Warum ist der Sachverhalt umstritten ? verwirrt

21.07.2020, 16:19

Steffen Bühler

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Das steht doch recht ausführlich im Wiki-Artikel.

Viele Grüße
Steffen

21.07.2020, 21:19

Leopold

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Immer wieder wird als Argument, warum man $\begin{align*} \sqrt[3]{-8} = -2 \end{align*}$ nicht definieren sollte, angeführt, daß das mit dem Gesetz $\begin{align*} \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[kn]{x^{km}} \end{align*}$ nicht vereinbar sei, denn $\begin{align*} -2 = \sqrt[3]{-8} \neq \sqrt[6]{(-8)^2} = 2 \end{align*}$ (so auch im Wikipedia-Artikel). Ganz abgesehen davon, daß es in der Mathematik nicht ungewöhnlich ist, daß gewisse Gesetze bei Erweiterung des Definitionsbereichs ihre Gültigkeit verlieren, ist das Argument hinfällig, da man dann konsequenterweise auch $\begin{align*} (-2)^3 = -8 \end{align*}$ verbieten müßte:

$\begin{align*} -8 = (-2)^3 \neq \sqrt[2]{(-2)^6} = 8 \end{align*}$

Dagegen problemlos:

$\begin{align*} 8 = 2^3 = \sqrt[2]{2^6} = 8 \end{align*}$

Nun ist mir noch kein Mathematiker untergekommen, der $\begin{align*} (-2)^3 \end{align*}$ verbieten wollte. Aber was nicht ist, kann ja noch werden.

21.07.2020, 22:00

Steffen Bühler

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Für mich bleibt das stärkste Argument, dass es bei einer Wurzel doch immer um den Hauptwert der entsprechenden Gleichungslösung geht. Also kurz gesagt die komplexe Zahl mit dem kleinsten Winkel. Sozusagen am nächsten zum positiven Reellen.

Das ist schon bei $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ so, da ist der Hauptwert x=1, und das ist eben die Wurzel aus 1. Dass die Gleichung noch eine zweite Lösung hat, ändert daran nichts, eine Quadratwurzel ist positiv.

Bei $\begin{eqnarray*} x^3=1 \end{eqnarray*}$ ist die Kubikwurzel aus 1 ebenfalls 1. Es käme auch niemand auf die Idee, eine der zwei anderen komplexen Lösungen als Wurzel anzusehen.

Warum sollte das dann also bei $\begin{eqnarray*} x^3=-1 \end{eqnarray*}$ anders sein? Warum sollte man hier das Pferd von hinten aufzäumen und nicht wie vorhin schön nah bei der positiven reellen Achse bleiben? Und konsequent die Kubikwurzel aus -1 als $\begin{eqnarray*} \frac 12 + \frac {\sqrt 3}2 i \end{eqnarray*}$ definieren?

22.07.2020, 10:40

Luftikus

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Man sollte m.E. alles Negative unter der Wurzel (negative Radikanden) immer besonders betrachten, wie bei geraden Wurzelexponenten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2k]{-a} = \sqrt[2k]{a(-1)} = \sqrt[2k]{a} \cdot \sqrt[2k]{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2k+1]{-a} = \sqrt[2k+1]{a(-1)} = \sqrt[2k+1]{a} \cdot \sqrt[2k+1]{-1} \end{eqnarray*}$

zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-27} = \sqrt[3]{27(-1)} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{-1} = 3 \cdot e^{i \pi [-\frac{1}{3}, 1, \frac{1}{3}]} \end{eqnarray*}$

also für die reelle Lösung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-27} = 3 \cdot e^{i \pi} = -3 \end{eqnarray*}$

22.07.2020, 15:17

rumar

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RE: Kubikwurzel aus negativer Zahl

Zitat:

$\begin{eqnarray*} {^3} \sqrt{-27} \end{eqnarray*}$ ist ja die Antwort auf die Frage, welche Zahl dreimal mit sich multipliziert -27 ergibt. Und das ist doch -3, oder?

Wenn ich die Zahl -3 dreimal mit sich selber multipliziere, erhalte ich:

(-3) * (-3) = 9

(-3) * (-3) = 9

(-3) * (-3) = 9

LG

22.07.2020, 15:30

Elvis

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Die Summe 27 stimmt bis auf das Vorzeichen. Nimmt man das von der -3, so ist das Ergebnis perfekt. Augenzwinkern

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Kubikwurzel aus negativer Zahl

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