Lokal invertierbar

23.07.2020, 11:24	Paul89	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokal invertierbar Meine Frage: Betrachtet wird die Abbildung f:IR^2 nach IR^2 mit f(x,y) = (3x+y^2, xy+4) Ich soll herausfinden, ob sie an den Stellen (0,1) und (1,0) lokal invertierbar ist Meine Ideen: Ich habe die Jacobimatrix aufgestellt und dann die Determinante berechnet und eingesetzt. Diese war ungleich 0. Also ist die Abbildung an den Stellen lokal invertierbar. Stimmt das so ?
23.07.2020, 13:16	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In vektorieller Schreibweise lautet die Funktion $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} f_1(x_1,x_2) \\ f_2(x_1,x_2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3x_1+x_2^2 \\ x_1x_2+4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Vektorfunktion musst du in der Nähe der beiden Stelle (0\|1) bzw. (1\|0) in einer Taylorreihe bis zur 1.Ordnung entwickeln. Das ergibt in beiden Fällen eine Gleichung der Gestalt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \end{pmatrix} \approx \underbrace{\begin{pmatrix} f_{01} \\ f_{02} \end{pmatrix}}_{\text{konstanter Vektor}}+\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \tfrac{\partial f_1}{\partial x_2} \\ \tfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \tfrac{\partial f_2}{\partial x_2} \end{pmatrix}}_{\text{konstante Matrix}}\begin{pmatrix} \Delta x_1 \\ \Delta x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun musst du prüfen, ob dieses lineare Gleichungssystem eindeutig nach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \Delta x_1 \\ \Delta x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auflösbar ist. Das hängt bekanntlich mit der Determinante der Matrix zusammen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »