Pi kleiner oder größer 22/7 ?

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23.07.2020, 18:17

Dopap

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Pi kleiner oder größer 22/7 ?

Gestern was der 22.7. und dazu passend:

beantwortet der exakte Wert von $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\, \dd x \end{eqnarray*}$ diese Frage?

23.07.2020, 19:56

Luftikus

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War nicht erst am 19.07. e-Tag? smile

23.07.2020, 22:26

klauss

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RE: Pi kleiner oder größer 22/7 ?
Witzig ... Der Integrand kann nicht negativ werden, schließt mit der x-Achse zwischen seinen Nullstellen eine Fläche ein, weshalb man in Kenntnis des exakten Integralwerts sagen kann: $\begin{eqnarray*} 22/7 > \pi \end{eqnarray*}$

24.07.2020, 00:36

Dopap

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schön, wenn es dir gefallen hat. Prost

24.07.2020, 08:18

willyengland

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Sehr schön! Freude

24.07.2020, 23:41

quadrierer

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RE: Pi kleiner oder größer 22/7 ?

Zitat:

Original von Dopap

beantwortet der exakte Wert von $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\, \dd x \end{eqnarray*}$ diese Frage?

Ich kann nicht anhand des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\, \dd x \end{eqnarray*}$ erkennen, dass mit seiner ausgerechneten Ergebnis-Zahl das Kreisverhältnis Pi=Kreisumfang/Kreisdurchmesser tatsächlich exakt und nicht nur genähert beschreiben wird?

25.07.2020, 13:38

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \int_0^1\, \underbrace {x^6 -4x^5+5x^4-4x^2+4 -\frac {4}{1+x^2}}_{\geq 0} \,\dd x >0 \qquad \int \frac{1}{1+u^2}\dd u=\arctan(u) +c \end{eqnarray*}$

25.07.2020, 17:28

Leopold

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RE: Pi kleiner oder größer 22/7 ?

Zitat:

Original von quadrierer
Ich kann nicht anhand des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\, \dd x \end{eqnarray*}$ erkennen, dass mit seiner ausgerechneten Ergebnis-Zahl das Kreisverhältnis Pi=Kreisumfang/Kreisdurchmesser tatsächlich exakt und nicht nur genähert beschreiben wird?

Du bist einer fixen Idee verfallen und siehst überall das Mathematiker- $\begin{align*} \pi \end{align*}$ , welches du nicht akzeptieren willst und welchem du deine verzeichneten $\begin{align*} \pi \end{align*}$ -Berechnungen entgegenstellst. Niemand hat hier behauptet, daß dieses Integral $\begin{align*} \pi \end{align*}$ "tatsächlich exakt beschreibt". Nur du imaginierst diese Behauptung. Wie jedes endliche Integral hat es eine reelle Zahl als exakten Wert. Wie man diese berechnen kann, zeigt Dopaps Zerlegung.

25.07.2020, 23:28

Calvin

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Danke für die Erklärung und danke für dieses sehr schöne Rätsel Freude

Das hat mich gepackt Freude

26.07.2020, 11:07

Elvis

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So ein schönes Integral, das macht Lust auf mehr. Man braucht es nicht wirklich, um die Frage zu beantworten, aber man kann es dafür benutzen.

26.07.2020, 13:35

quadrierer

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@ Leopold

Für dich habe ich mich vielleicht nicht ausreichend zutreffend bei meiner Frage zu „ ...tatsächlich exakt und nicht nur genähert“ ausgedrückt. Meine Anfrage zielt auf eine Herleitung mit nachvollziehbarem Bezug zum geometrischen Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ =Kreisumfang/Kreisdurchmesser. Die Antwort von Dopap macht hier mit dem angegebenen Integral $\begin{eqnarray*} \int(1/1+u^{2})du=arctan(u)+c \end{eqnarray*}$ , das auf $\begin{align*} \pi \end{align*}$ /4 hinweist, einen ersten Schritt in die gewünschte Richtung. Ein nachvollziehbarer Bezug zum geometrischen Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ ist mit dem Bild des Integral-Funktionsverlaufs aber noch nicht geliefert. Hier wünsche ich mir noch mehr nachvollziehbare Zusammenhänge.

Tatsächlich exakt zutreffen sollen bei mir die mit Kreis- und Gerade-Objekten gezeichneten Rechengänge als Grenzprozesse, die mit geometrischen Rechengrössen ausgeführt werden und primär ein Ergebnis als geometrische Rechengrösse haben (https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Kreisverhaeltnis.gif). Dabei soll mit immer mehr ausgeführten Schritten das Ergebnis immer genauer darstellt werden. Mit nur genäherten Berechnungsprozessen, wie dem von Kochanski (1683) für ein $\begin{align*} \pi_{\text{num(genähert}} \end{align*}$ ist keine solche endlose Steigerung der Ergebnis-Genauigkeit möglich.

Was du mir als fixe Idee unterstellst, sehe ich selbst wie folgt: Das geometrische Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ =Kreisumfang/Kreisdurchmesser ist nicht aus einer Kreiszahl \pi_{\text{num(n)}}[/mathjax] hergeleitet und ist nicht der gleiche Sachverhalt wie die Kreiszahl $\begin{align*} \pi_{\text{num(n)}} \end{align*}$ . Das Gleichsetzen der Symbole von $\begin{align*} \pi \end{align*}$ = $\begin{align*} \pi_{\text{num(n)}} \end{align*}$ führt somit zu Verwirrung.

26.07.2020, 14:04

Elvis

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26.07.2020, 14:16

Dopap

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Zitat:

Original von quadrierer
[...]Ein nachvollziehbarer Bezug zum geometrischen Kreisverhältnis $\begin{align*} \pi \end{align*}$ ist mit dem Bild des Integral-Funktionsverlaufs aber noch nicht geliefert. Hier wünsche ich mir noch mehr nachvollziehbare Zusammenhänge.

Beim Winkel $\begin{eqnarray*} \frac \pi 4 \end{eqnarray*}$ = ViertelHalbkreislänge / Radiuslänge ist der Tangens 1.

Besser?

26.07.2020, 14:30

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
So ein schönes Integral, das macht Lust auf mehr.

Ja, ein interessantes Integral. Ich habe einmal versucht, es zu verallgemeinern.

Für ganzzahlige $\begin{align*} n,j \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0 \leq j \leq n \end{align*}$ definiere ich dazu rekursiv

$\begin{align*} a_{n,j} = \begin{cases} 1, & j=0 \\ n, & j=1 \\ {{n} \choose j} - a_{n,j-2}, & 2 \leq j \leq n \end{cases} \end{align*}$

Man könnte das auch so schreiben:

$\begin{align*} a_{n,j} = {n \choose j} - {n \choose {j-2}} + {n \choose {j-4}} - {n \choose {j-6}} +- \ldots \end{align*}$

Die Summe bricht ab, wenn die untere Zahl negativ wird.

Es gilt nun für ganzzahlige $\begin{align*} n \geq 1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \int_0^1 \frac{x^{4n} (1-x)^{4n}}{x^2 + 1} ~ \dd x \ = \ \sum_{j=0}^{4n} \frac{(-1)^j a_{4n,j}}{8n-j-1} \ + \ (-1)^{n+1} \cdot 4^n \cdot \sum_{j=0}^{2n-2} \frac{(-1)^j}{2j+1} \ + \ (-1)^n \cdot 4^{n-1} \cdot \pi \end{align*}$

Die Formel ist ein wenig kompliziert. Vielleicht kennt jemand einen geschlossenen Ausdruck für $\begin{align*} a_{n,j} \end{align*}$ , der das Ganze vereinfacht. Es ist zum Beispiel $\begin{align*} a_{4n,4n} = (-1)^n \cdot 4^n \end{align*}$ und $\begin{align*} a_{4n,4n-1} = 0 \end{align*}$ . Aber wie ist das mit $\begin{align*} a_{4n,j} \end{align*}$ für $\begin{align*} j<4n-1 \end{align*}$ ? Irgendwie habe ich das Gefühl, daß da noch etwas geht.

Immerhin Folgendes kann ich anbieten.

$\begin{align*} n=1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{x^2 + 1} ~ \dd x \ = \ \frac{22}{7} - \pi \end{align*}$

$\begin{align*} n=2 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \int_0^1 \frac{x^8 (1-x)^8}{x^2 + 1} ~ \dd x \ = \ 4 \pi - \frac{188684}{15015} \end{align*}$

$\begin{align*} n=3 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \int_0^1 \frac{x^{12} (1-x)^{12}}{x^2 + 1} ~ \dd x \ = \ \frac{431302721}{8580495} - 16 \pi \end{align*}$

$\begin{align*} n=4 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \int_0^1 \frac{x^{16} (1-x)^{16}}{x^2 + 1} ~ \dd x \ = \ 64 \pi - \frac{5930158704872}{29494189725} \end{align*}$

Man erhält so immer bessere Näherungsbrüche für $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Man erkennt auch einen Zusammenhang zur Leibnizschen Reihe für $\begin{align*} \frac{\pi}{4} \end{align*}$ .

26.07.2020, 15:17

quadrierer

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Zitat:

Original von Dopap
Beim Winkel $\begin{eqnarray*} \frac \pi 4 \end{eqnarray*}$ = ViertelHalbkreislänge / Radiuslänge ist der Tangens 1.
Besser?

Schon besser!

26.07.2020, 18:30

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold
..Man erhält so immer bessere Näherungsbrüche für $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Man erkennt auch einen Zusammenhang zur Leibnizschen Reihe für $\begin{align*} \frac{\pi}{4} \end{align*}$ .

Mit dem erkannten Zusammenhang zur Leibnizschen Reihe für $\begin{align*} \frac{\pi}{4} \end{align*}$ bleibt für mich dann immer noch eine Zusammenhang-Lücke zum geometrischen Kreisverhältnis $\begin{align*} {\pi} \end{align*}$ ?

Warum haben der Schotte Gregory (1671) und der Inder, Madhava (14. Jhd.), welche diese Reihe auch schon kannten, den $\begin{align*} {\pi} \end{align*}$ -Zusammenhang nicht erkannt? Sind sie von anderen Grundlagen ausgegangen als Leibniz?

Die von dir aufgezeigten Näherungsbrüche für n = 1 bis 4 legen eine sehr gute Konvergenz nahe. Wird hier vielleicht zu einem falschen Eindruck gelangt?

26.07.2020, 18:50

Finn_

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Also dieses Wolfram Alpha findet nur

$\begin{eqnarray*} \begin{split}\sum_{k=0}^{\lfloor\tfrac{j}{2}\rfloor} (-1)^k \binom{n}{j-2k} &= (-1)^{\lfloor\tfrac{j}{2}\rfloor} \binom{n}{j - 2 {\lfloor \tfrac{j}{2}\rfloor} - 2}\cdot {}_3 F_2\Bigg(\begin{matrix}1,\;\; -\tfrac{j}{2} + {\lfloor\tfrac{j}{2}\rfloor} + 1,\; \;-\tfrac{j}{2} + {\lfloor\tfrac{j}{2}\rfloor} + \tfrac{3}{2}\\ -\tfrac{j}{2} + \tfrac{n}{2} + {\lfloor\tfrac{j}{2}\rfloor} + \tfrac{3}{2},\; -\tfrac{j}{2} + \tfrac{n}{2} + {\lfloor\tfrac{j}{2}\rfloor} + 2\end{matrix}\Bigg|-1\Bigg) \\ &\quad + \binom{n}{j}\cdot {}_3 F_2\Bigg(\begin{matrix}1,\;\; \tfrac{1}{2} - \tfrac{j}{2},\;\; -\tfrac{j}{2}\\ -\tfrac{j}{2} + \tfrac{n}{2} + \tfrac{1}{2},\; -\tfrac{j}{2} + \tfrac{n}{2} + 1\end{matrix}\Bigg|-1\Bigg).\end{split} \end{eqnarray*}$

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