Betragsungleichung mit komplexer Zahl

26.07.2020, 14:55	Outtaspace	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichung mit komplexer Zahl Hallo, folgende Aufgabe: Skizze der Menge alles komplexen Zahlen z angeben, so dass \|z-3-4i\| <= 5 erfüllt ist. mit z = a + bi bin ich wie folgt vorgegangen: $\begin{eqnarray} <br /> \|z - 3 - 4i\| \leq 5 \Leftrightarrow \|a+bi-3-4i\| \leq 5 \Leftrightarrow \|a-3+bi-4i\| \leq 5 \Leftrightarrow \sqrt{(a-3)^2+(b-4)^2} \leq 5 \Leftrightarrow (a-3)^2+(b-4)^2 \leq 25 \Leftrightarrow (a^2-6a+9) + (b^2-8b+16) \leq 25 \Leftrightarrow a^2 - 6a + b^2 - 8b \leq 0 \Leftrightarrow a^2 + b^2 \leq 6a + 8b <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Ich sehe zwar durchaus, dass ich jetzt für a und b bestimmte Werte festlegen kann und dann direkt für a oder b ein bestimmter Wert folgen muss, jedoch ist mir unklar, wie ich hier eine konsistente Menge für z aufstellen kann bzw. wie ich alle Werte für a und b systematisch bestimmen kann. Davon auszugehen, dass $\begin{eqnarray} <br /> a^2 \leq 6a \land b^2 \leq 8b<br /> \end{eqnarray}$ zugleich erfüllt sein müssen ist wohl etwas zu einfach, weil ich dann gemische Zahlenpaare nicht betrachte. Gibt es hier einen geschickteren Ansatz die Aufgabe anzugehen oder habe ich irgendwo einen Denkfehler? Viele Grüße
26.07.2020, 15:00	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach Dir das Leben nicht so schwer. \|z\|<=5 sind alle Zahlen, deren Radius kleiner oder gleich 5 ist - also die Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius 5. Und bei Deiner Aufgabe ist die halt nur verschoben. Viele Grüße Steffen
26.07.2020, 15:11	Outtaspace	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja habe ich auch so in etwa mir überlegt gehabt. Müsste dann aber nicht gehlten, dass mit w = 3 + 4i dann also \|z - w\| = \|z\| - \|w\| >= 5 sein muss, damit z sozusagen genau 5 LE größer als w sein muss? So eine Regel hab ich leider nicht gefunden und hab es dann auch mit einfachen Zahlenbeispielen nachgerechnet. Wenn der Winkel für z und w gleich sind würde es ja stimmen, aber für unterschiedliche Winkel scheinbar nicht. Hatte hier überlegt z.B. mit \|6 + 4i - 1 - i\| = \|5 + 3i\| = 5.83 und \|6 + 4i\| - \|i + i\| = 5.79.
26.07.2020, 15:26	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, in der Tat gilt diese Gleichheit nicht, z.B. für z=1 und w=-1 leicht zu widerlegen.
26.07.2020, 15:28	Outtaspace	Auf diesen Beitrag antworten »
achso ich glabue ich verstehe nun was du meintest. Es wäre dann ein Kreis von 5LE um die Zahl 4 + 3i?
26.07.2020, 15:46	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, vom Schreibfehler abgesehen.
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26.07.2020, 15:50	Outtaspace	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke dir!

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