Warum enthält die n-te Potenz von Idealen die (n+1)-te Potenz?

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Eldar Auf diesen Beitrag antworten »
Warum enthält die n-te Potenz von Idealen die (n+1)-te Potenz?
Meine Frage:
Wenn man vom Produkt zweier Ringe (oder Ideale) spricht, ist in der Regel das "direkte" Produkt gemeint. Es enthält Tupel. Sei etwa ein Ring so enthält zum Beispiel Paare . Ein Ideal von enthält ebenfalls Paare. Nun sei ein Ideal und die zweite Potenz von . Warum ist eine Teilmenge von ? Vereinfacht gesprochen: Während Elemente enthält, sind doch in Tupel enthalten?

Meine Ideen:
Es geht mir darum zu verstehen:
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematische Notation ist immer im Kontext zu sehen.

Wie du schon eingesehen hast, macht das kartesische Produkt hier absolut keinen Sinn. Was tatsächlich gemeint ist, ist das elementweise Produkt:
.

Und hier ist insgesamt mal.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zusammenhang mit Idealen geht es nicht um das kartesiche Mengenprodukt (Eldar) und auch nicht um das Komplexprodukt (IfindU), sondern um das Idealprodukt , und dann ist . Das ist der Beweis für Linksideale , also auch für zweiseitige Ideale. Für Rechtsideale geht er analog, indem man ansetzt.

Zusatzfrage : Gilt stets für einseitige Ideale?
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank für die Klarstellung. Das hat geholfen!
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Zusatzaufgabe:

Ich würde sagen:
,
da ich die Indizes k beliebig vertauschen kann und alle aus ein und demselben Ideal stammen. Die Summen dürften gleich sein? Bitte korrigiere mich, wenn ich falsch liege.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß es nicht. Das ist aus meiner Froschperspektive keine Zusatzaufgabe sondern eine Zusatzfrage. Wenn ich mutmaßen müsste, würde ich vermuten (für kommutative Ringe oder zweiseitige Ideale scheint es mir richtig zu sein) und die noch weiter gehende Frage für beliebige Ideale für sehr unwahrscheinlich halten.
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Nachtrag zu meiner Definition: Mit meiner ist das Produkt von Idealen nicht zwingend wieder ein Ideal. Da dies (offenbar) eine gewünschte Eigenschaft ist, so bietet es sich an das kleinste Ideal zu nehmen, das "mein" enthält.

Das ist dann die Definition von Elvis smile
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Klarstellung. Für den Begriff der "Vervollständigung (Kommutative Algebra)" auf Wikipedia ist wahrscheinlich die Definition von Elvis gemeint.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Das Idealprodukt kann man so definieren, wie ich es gemacht habe (Linearkombinationen aus Produkten) oder wie IfindU es gemacht hat (das kleinste umfassende Ideal, auch "Hülle" oder "Vervollständigung" genannt) oder als Durchschnitt aller das Komplexprodukt umfassenden Ideale. "Alle Wege führen nach Rom."
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der Sprache der alten Mathematiker ist die Aufgabe ein Witz, denn Faktoren teilen ein Produkt (habe ich soeben erst gemerkt, heute morgen ist mir das noch nicht aufgefallen).


Ganz allgemein gilt ja auch für Ideale
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Ja korrekt - und wenn man sich vor Augen führt, dass das Idealprodukt "kleiner" ist, dann versteht man auch Deine allgemeine Aussage.

Da das Ganze ohnehin sehr abstrakt ist, wäre es mal interessant den Sachverhalt der "Vervollständigung (Kommutative Algebra)" auf Wikipedia am Beispiel der Vervollständigung von zum Ring der p-adischen Zahlen zu illustrieren. Das heißt anhand von beispielhaften Elementen zu zeigen, was sich in welchem Ideal befindet, wie die Nullfolgen aussehen und wie die Cauchyfolgen aussehen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein völlig anderes Thema.

Ideale : 19. Jahrhundert. Ideale eines Rings sind spezielle Unterringe des Rings. Ideale des Hauptidealrings sind die Unterringe

p-adische Zahlen: 20. Jahrhundert. Die reellen Zahlen und die p-adischen Zahlen sind Körpererweiterungen der rationalen Zahlen , die als Vervollständigungen, d.h. als Menge der Cauchyfolgen modulo Nullfolgen bezüglich des absoluten Betrags bzw. des p-adischen Betrags auf den rationalen Zahlen (p Primzahl), konstruiert werden. ist der Ring der ganzen p-adischen Zahlen, das ist eine riesige Ringerweiterung der ganzen Zahlen. Konkret kann man sich die ganzen p-adischen Zahlen beschaffen als formale Potenzreihen , ist der Quotientenkörper von , und konkret gilt . Der p-Betrag von kann eindeutig fortgesetzt werden zu einem p-Betrag auf , so dass man auf den p-adischen Zahlkörpern Analysis analog der reellen Analysis betreiben kann. Zahlen sind konkreter als alles andere in der Algebra, von abstrakten Dingen kann man hier überhaupt nicht sprechen.
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