Menge stetiger Funktionen = Menge konstanter Funktionen |
| 28.07.2020, 12:04 | Cauchyfolge | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Menge stetiger Funktionen = Menge konstanter Funktionen Sei X eine nichtleere Menge versehen mit den Topologien {0,X} (0=leere Menge) bzw. P(X). S:={f 
X,{0,X})->(X,P(X)): f ist stetig}K:={g:X->X: g ist konstant} Zu zeigen: S=K Meine Ideen: Dass K eine Teilmenge von S ist, ist ja relativ schnell zu zeigen, da konstante Funktionen stetig sind. Über die Defintion der Stetigkeit mit Hilfe von Umgebungen (also für alle Umgebungen aus der Zieltopologie ist das Bild der Umkehrfunktion dieser Umgebungen in der Ausgangstopologie), komme ich darauf, dass f
X,{0,X})->(X,P(X))}={f {f:X->X} gelten muss, da sonst die Stetigkeit nicht gewährleistet wäre.Doch wieso muss f dann auch konstant sein? |
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| 28.07.2020, 13:19 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine Funktion ist genau dann offen, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Da in der Zielmenge X jede Menge offen ist, sind auch einelementige Mengen offen. Für jedes x in X muss also das Urbild leer oder X sein. qed. (wenn du wie ich das Gefühl hast, man kann diesen Beweis noch ein bißchen ausführlicher gestalten, dann darfst du das gerne tun) |
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