Kleine Beweise mit unitärem Endomorphismus/Skalarprodukt

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Layton Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine Beweise mit unitärem Endomorphismus/Skalarprodukt
Meine Frage:
Es wird C^n mit dem Skalarprodukt und F: C^n -> C^n, also ein unitärer Endomorphismus, betrachtet.
a) Definiere unitäre Endomorphismen und folgere aus der Definiton, dass F bijektiv ist.
b) Zeige: F*=F^-1 (F* ist der adjungierte Endomorphismus zu F)
c) Zeige: <F*(v),F*(w)>=<v,w> , < >stellt hierbei das Skalarprodukt dar.

Meine Ideen:
Zu a) habe ich bisher nichts... hat da jemand eine Idee?

b) Für adjungierte Endomorphismen gilt: <F(v),w>=<v,F*(w)>. Danach habe ich angenommen, dass F*=F^-1, also habe ich dies eingesetzt. Sei F(v)=w. Für die Umkehrfunktion gilt dann: F^-1(w)=v.
Nach einsetzen erhält man <v,w>=<w,v>. Da F hermetisch (F ist Skalarprodukt), gilt also letzteres... Ist das richtig?

c)Hier habe ich wieder F*=F^-1 verwendet. Wieder sei F(v)=w, also gilt: F^-1(w)=v. Dies habe ich beides in <F*(v),F*(w)>=<v,w> eingesetzt. Es kam wieder <w,v>=<v,w> raus... Also wieder die Begründung, dass F hermetisch ist...
Auch hier die Frage, geht das so?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a) Definition: F:V\to V heißt unitär, wenn <F(v),F(w)>=<v,w> für alle v,w in V.

Davon ausgehend kannst du über a), b) und c) nachdenken, du darfst aber niemals das voraussetzen, was du erst noch beweisen möchtest. Übrigens ist das komplexe Skalarprodukt nicht symmetrisch sondern hermitesch (nicht zu verwechseln mit hermetisch).
Layton Auf diesen Beitrag antworten »

Achso aus deiner genannten Definition kann man ableiten, dass F(w)=v, F(v)=w oder F(w)=w, F(v)=v. In beiden Fällen ist F dann trivialerweise bijektiv, da alle Elemente getroffen werden (=surjektiv) und dabei jedes Element nur einmal vorkommt (=injektiv).
Also ist das die Lösung zu a)?

Für b) und c) weiß man dann ja, dass F identische Abbildung oder eben F(w)=v gilt. Nun ist die Frage, sagt mir das etwas über F* aus? Kann meinen Ansatz aus b), also <F(v),w>=<v,F(w)> verwenden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So einfach ist das nicht. Im reellen gibt es Bewegungen, die abstandserhaltend sind. Unitär ist im komplexen der entsprechende Begriff. Du vergisst immer, dass es um alle v,w in V geht, nicht nur um ein Paar von Vektoren.
Layton Auf diesen Beitrag antworten »

Kern: <v,v>=<F(v),F(v)>=<0,0>=0 Also ist F injektiv.
Da ja C^n -> C^n abgebildet wird und der Kern 0 ist, gilt nach dem Rangsatz dim(C^n)=dim(im(F))... Also ist F surjektiv und damit insgesamt bijektiv.
...So richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so, weil das Skalarprodukt positiv definit ist und weil der Vektorraum endlichdimensional ist.
 
 
Layton Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann erstmal danke für die Hilfe bei a).
Bei b) ist offenbar mein Ansatz falsch... Kannst du mir einen Hinweis geben?
Eine Idee hatte ich aber: Ich würde jetzt deine zuerst genannte Definition weiter verwenden. Nun gilt doch F(v)=F^-1(F(v))=v, oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt natürlich nicht, denn sonst wäre nur die Identität unitär, und damit wäre der Begriff unitär völlig überflüssig.
Layton Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich denke dann bin ich in einer Sackgasse. Die Vorschläge und die Ideen, die ich hier dargestellt habe, sind eigentlich das einzige, was ich nach meiner Meinung Sinniges zu F* und F^-1 im Internet finde bzw., was an Definitionen an meiner Uni gemacht wurde...
Kannst du mir sagen, welche Definition ich dafür verwenden muss?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Definitionen : komplexe Zahlen, komplexer Vektorraum, komplexes Skalarprodukt, unitär, Endomorphismus, adjungierter Endomorphismus.

Wie ich schon sagte, musst du verstehen, dass du Aussagen über alle Vektoren machen musst. Die Sackgasse in der du steckst, hast du dir selbst gebaut, indem du immer nur 2 Vektoren v und w ansiehst. Viel kürzer kann eine Sackgasse nicht sein. Dass "Zauberwort" heißt "für alle" (), damit erschließen sich in der Mathematik unendliche Welten.
ElvisHilftNieWeiter Auf diesen Beitrag antworten »

Die definierende Eigenschaft von ist .
Erfüllt diese Eigenschaft, so ist .

Setze an und wende auf beide Argumente an - geht, da unitär.

(c) folgt dann sofort - ebenfalls durch Anwenden von .

Anmerkung: Hier passiert nichts wildes, es werden nur die Definitionen benutzt. Vielleicht hilft dir dieser Artikel noch weiter: h t t p s : / / matheplanet . com / matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
Layton Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar ElvishilftNieWeiter, danke für die Hilfestellung. Jetzt sollte ich, was gescheites auf Papier bringen können.
Und auch danke für den Link, denn ja mit Beweisen tu ich mich noch schwer.
Dein provokanter Name passte jetzt echt gut XD. Ohne dich hätte ich es vermutlich nicht geschafft.
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