Projektion

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Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »
Projektion
Meine Frage:
Ich habe eine Frage zu einer Stelle aus dem Buch "Mathematik für Physiker" von den Autoren Kerner/Wahl (S.169, da wo es die Projektion geht).
Ganz unten heißt es:
< Pv, w > = < vNull , wNull + wEins > , wobei v = vNull + vEins und

vNull ist Element von (Ker P) und vEins Element von (Bild P)


Wieso ist Pv = vNull ?

Meine Ideen:
Ich hätte gedacht:

Pv = P(v) = P(vNull + vEins) = P(vNull) + P(vEins) = 0 + P(vEins),

da vNull Element von (Ker P), somit P(vNull) = 0


Danke im voraus!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das so ist, wie du schreibst, kann das nur ein Druckfehler sein. Wie ist denn und definiert ?
Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »

Das glaube ich mittlerweile auch.
Denn auf S.169 schreiben sie: vNull ist Element von (Ker P) und vNull ist Element von U.
Auf S.170 schreiben sie aber: Ker P ist identisch mit dem orthogonalen Komplement von U.

Daher muss es sich um eine Inkonsistenz handeln.
Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »

w0 ist Element von KerP und w1 ist Element von BildP

Ich glaube, dass muss vertauscht werden genauso wie v0 und v1
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

und
Das kann man so stehen lassen, ist ja egal, weil jeder Vektor so in der direkten Summe eindeutig zerlegt wird.
Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »

Aber der Vektor vNull muss Element von Bild P sein und der Vektor vEins muss Element von Ker P sein, oder?
Ist schon richtig, dass Kerner/Wahl hier einen Fehler gemacht haben?

Denn wenn Obiges gilt, dann ergibt sich:

<P(v), w> = <P(vNull + vEins), w> = <P(vNull) + P(vEins), w> = <P(vNull), w> = <vNull, w>

Genau diese Gleichung steht ja im Buch drin und gilt nur dann, wenn vNull Element von Bild P ist und vEins Element von Ker P.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das Buch nicht und weiß nicht was drin steht. Die letzte Gleichung passt aber auch, denn P(v0)=v0 für v0 in BildP. Du weißt ja offensichtlich, worauf es ankommt und kannst die kleinen Nachlässigkeiten korrigieren. Manche Autoren machen absichtlich ein paar kleine Fehler, damit die Leser aufmerksam bleiben. Augenzwinkern
Wenn ich ein Mathematikbuch lese, habe ich immer einen Bleistift dabei, um Fehler zu korrigieren und Nebenrechnungen an die Ränder zu schreiben. Bei hinreichend vielen wichtigen Fehlern schreibe ich lebende Autoren gerne an (es gibt Autoren, die sich dafür bedanken).
Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »

Definition 7.9.29 Ist V ein Vektorraum und P : V &#8594; V eine lineare Abbildung, so
heißt P Projektion, wenn gilt:
P &#9702; P = P,
also P(P(v)) = P(v) fur¨ v &#8712; V.
Wir schreiben oft P v an Stelle von P(v). Es gilt:
Satz 7.9.30 Ist V ein Vektorraum und P : V &#8594; V eine Projektion, so ist
V = (KerP) &#8853; (BildP).
Beweis. Sei v &#8712; V und v1 := P(v); dann ist P(v &#8722; v1) = P(v) &#8722; P(P(v)) = 0,
also v0 := v &#8722; v1 &#8712; KerP, somit V = (KerP)+(BildP).
Ist v &#8712; (KerP) &#8745; (BildP), so existiert ein w &#8712; V mit v = P(w) und es folgt
v = P(w) = P(P(w)) = P(v)=0; somit (KerP) &#8745; (BildP) = {0}.

Bei euklidischen Vektorraumen hat man den Begriff der selbstadjungierten Abbil- ¨
dung, diese werden wir ausfuhrlich in 7.10 behandeln; ¨ P : V &#8594; V heißt selbstadjungiert, wenn fur¨ v, w &#8712; V gilt: < Pv, w >=< v, Pw >.
Satz 7.9.31 Eine Projektion P : V &#8594; V in einem euklidischen Vektorraum V ist
genau dann selbstadjungiert, wenn gilt:
(KerP) &#8869; (BildP).
Beweis. a) Sei P selbstadjungiert und u &#8712; KerP, v = P w &#8712; BildP; dann ist
< u, v >=< u, P w >=< P u, w >= 0.
b) Nun sei BildP &#8869; KerP; und v, w &#8712; V ;
fur¨ v = v0 + v1 und w = w0 + w1 mit v0, w0 &#8712; KerP, v1, w1 &#8712; BildP ist
< Pv, w >=< v0, w0 +w1 >=< v0, w0 >=< v0 +v1, w0 >=< v, Pw > .

Definition 7.9.32 Ist V = U &#8853; U &#8869; und stellt man v &#8712; V dar als v = v0 + v1 mit
v0 &#8712; U, v1 &#8712; U &#8869;, so heißt
PU : V &#8594; V,v
&#8594; v0,
die Projektion auf U.


Es geht um Teil b) von Satz 7.9.31, also die Frage, warum Pv = v0 sein soll
Wenn v0 Element von KerP ist, dann müsste eigentlich gelten:
Pv = P(v) = P(v0 + v1) = P(v0) + P(v1) = 0 + P(v1) = v1, da v1 Element von BildP ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Satz ist richtig, aber der Beweis ist für mich unverständlich. Die fragliche Stelle würde ich wie folgt beweisen.

Behauptung: eukl. Vektorraum, Projektion, . Dann ist für alle
Beweis: Sei
Dann gilt


Dabei wird die Voraussetzung der Orthogonalität, der direkten Summe und benutzt. qed.

Wenn man weiß, was man will, machen sich solche Beweise fast von selbst, und ich habe ja oben schon gesagt, dass die entscheidend wichtige Eigenschaft einer Projektion ist, und genau das wird in der Mitte des Beweises benutzt.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]51777[/attach]
(S. 169 auf Google Books)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn man im Nachhinein noch einmal scharf hinschaut, dann stimmt das auch und ist noch kürzer. Freude Der Autor braucht nur die Orthogonalitaet. Bingo.

Nein, stimmt eben nicht, wo kommt die erste Gleichung her?
Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich ist nur die eine Stelle in Teil b) des Beweises unverständlich:
<Pv, w> = <v0, w0 + w1>, also warum Pv = v0 sein soll
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, das meine ich mit "erste Gleichung", die ist definitiv falsch, das hast du richtig erkannt. Der Autor benutzt auch nicht, dass P eine Projektion ist. Mein Beweis ist richtig, so haben wir gemeinsam das Buch verbessert.

Wenn der Autor recht hätte, wäre für die senkrechte Projektion der euklidischen Ebene mit dem Standardskalarprodukt . Im Beispiel (siehe Bild) ist aber und

Wenn du Lust hast, kannst du an dem Beispiel meinen Beweis schrittweise nachvollziehen, Gleichung für Gleichung, von Anfang bis Ende. Notwendig ist das nicht, aber es kann die Anschauung unterstützen.
Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich deinen Beweis nicht ganz verstanden.

Aber was meinst du mit dem Satz "Der Autor benutzt auch nicht, dass P eine Projektion ist." ?
Das verstehe ich jetzt nicht, denn "P" bezeichnet hier ausschließlich die Projektion.

Wenn das so ist, dass das Buch hier offensichtlich einen Fehler enthält, dann müssten wir ja das den Autoren mitteilen. Komisch, dass der Fehler noch nicht entdeckt wurde, denn das Buch liegt mittlerweile schon in der dritten Auflage vor.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine lineare Abbildung heißt Projektion, wenn gilt. Habe ich das nicht hier schon mal geschrieben ? (Ich habe den deutlichen Eindruck, dass Teile unseres Dialogs gelöscht wurden. Das könnte eventuell mit Copyright in Verbindung stehen, das wir immer vorbildlich beachten.)

Was verstehst du an meinem Beweis nicht ? Du musst nur von links nach rechts durchgehen und jedes Gleichheitszeichen verifizieren. Wenn es an der einen oder anderen Stelle klemmt, darfst du gerne fragen, dann bekommst du jede einzelne Überlegung ausführlich erklärt - das gehört zum selbstverständlichen Service bei einem Beweis dazu.

Nachdem du alles verstanden hast, darfst du gerne meinen Beweis und mein Gegenbeispiel verwenden, um den Autor auf seinen Fehler hinzuweisen und das Buch besser zu machen. Ich habe kein Interesse daran, weil mein Beitrag aus meiner Sicht doch sehr bescheiden ist, das kann jede/r andere genau so gut.
Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ich deinen Beweis doch verstanden! Danke. Super!

Gut, dass ich jetzt auch weiß, dass Kerner/Wahl hier einen Fehler gemacht haben.

Kann ich dich mal wieder was fragen, wenn ich wieder ein Problem habe?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du alle Details des Beweises und das Gegenbeispiel für den Fehler von Kerner/Wahl verstanden hast, dann bin ich mit dir zufrieden.
Fehler macht jeder mal, und vermutlich hat der Autor gedacht, das ist so einfach, da muss ich nicht lange drüber nachdenken, da schreib ich einfach was hin, das liest sowieso niemand, und wenn dann merkt es keiner, und wenn, dann kann er/sie es ja schnell korrigieren. Augenzwinkern
Bei allen zukünftigen Problemen (vornehmlich mathematischer Art, wir machen aber auch immer ein bißchen Seelsorge) bist du hier gut aufgehoben, und ich würde mich freuen, dir gelegentlich wieder zu begegnen.
Tipp: Bleibe kritisch, man soll nie glauben, was man hört oder liest, man soll nur glauben, was man verstanden hat und selbst beweisen kann (meine Frau sagt, ich soll nicht immer so kritisch sein, aber das färbt eben vom Beruf aufs Leben ab Big Laugh ).
Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deinem Tipp über das kritische Denken wollte ich dir noch was sagen:
Ich hoffe, du bist nicht schockiert, wenn ich dir das sage: Aber ich bin von Beruf katholischer
Theologe. Ich habe aber vorher 2 Semester Physik studiert, musste das Studium aber
krankheitsbedingt aufgeben.
Ich beschäftige mich aber zurzeit hobbymäßig wieder mit Mathe und Physik, weil ich als Theologe noch keine Anstellung habe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, du bist nicht schockiert, dass ich den kritischen Theologen Paul Tillich kenne. Siehe auch Alexander Neupert-Doppler "Die Gelegenheit ergreifen - Eine politische Theorie des Kairos" mandelbaum kritik & utopie Wien Berlin 2020. Kritische Philosophie, kritische Theologie und kritische Mathematik sollten sich eigentlich gut vertragen.
Simon.Peterhans Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, kritische Theologie und kritische Philosophie gehören zusammen.
Ich hab meine Magisterarbeit dann ja auch über einen kritischen Geist geschrieben, nämlich über Albert Einstein und seine Vorstellung von Religion.
Den Tillich kenn ich, war aber protestantischer Theologe, glaub. Der Alexander Neupert-Doppler sagt mir jetzt leider nichts.
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