Berechnung Wahrscheinlichkeit von Ausschuss einer Stichprobe

31.07.2020, 11:41	??? ??	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung Wahrscheinlichkeit von Ausschuss einer Stichprobe Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe vorliegen: Bei einer Produktion elektrischer Widerstände gilt nach den Erfahrungen des Herstellers: X~N(1000 ; 2500), mit X: Widerstand in Ohm. In der ersten Teilaufgabe gilt des den Anteil des Ausschusses zu berechnen, dabei ist Ausschuss = +/- 10% Abweichung vom Erwartungswert. Dabei habe ich 0,0456 berechnet. (Nach Lösung ist das auch richtig) In der zweiten Teilaufgabe soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass bei einer Stichprobe von n=1000 mehr als 5% Ausschuss anfallen. Meine Ideen: Ich habe es mit einer Normalverteilung X~1000 ; 2500) probiert. Mit P(x>50) kann ich aber keine vernünftige Standardisierung hinbekommen, dementsprechend habe ich es mit P(x?949) probiert, damit bin ich aber nicht zum richtigen Ergebnis gekommen (0,2541). Meine Berechnung war (949-1000)/(2500/?1000) = -0,645, den Wert habe ich dann in der Tabelle für Standardnormalverteilungen abgelesen und dementsprechend 0,2578 ermittelt. Bin ich mit einer Normalverteilung überhaupt beim richtigen Ansatz? Ich freue mich auf eure Rückmeldung.
31.07.2020, 12:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist wenig hilfreich, alles und jede Zufallsgröße mit dem selben $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ zu bezeichnen - da kann man ganz schnell durcheinander kommen... $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ sei der normalverteilte Widerstand von Bauteil Nummer $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ die Anzahl der Ausschusswiderstände - das sind die, für welche $\begin{eqnarray} \left\|X_k-1000\right\|>100 \end{eqnarray}$ gilt. Aus a) folgt $\begin{eqnarray} N\sim B(n,p) \end{eqnarray}$ mit dem $\begin{eqnarray} p = P\left(\left\|X_k-1000\right\|>100 \right) = 2\left(1-\Phi(2)\right)\approx 0.0455 \end{eqnarray}$ aus der ersten Teilaufgabe! Gesucht ist dann $\begin{eqnarray} P(N>0.05n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n=1000 \end{eqnarray}$ . Diese Binomialverteilung kann man wiederum für große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ wie hier $\begin{eqnarray} n=1000 \end{eqnarray}$ durch eine Normalverteilung approximieren, d.h. $\begin{eqnarray} N\stackrel{a}{\sim} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu=np \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2=np(1-p) \end{eqnarray}$ . Mit einem geeigneten TR muss aber diese Approximation womöglich gar nicht sein, d.h., du kannst die Binomialwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(N>50) = 1-P(N\leq 50) \end{eqnarray}$ mit dem direkt ausrechnen. EDIT: Die absolute Abweichung muss natürlich 100 statt 50 sein - ist nun korrigiert. Danke an klauss für das aufmerksame Durchlesen.
31.07.2020, 20:32	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei es hier allerdings jeweils $\begin{eqnarray} \left\|X_k-1000\right\|>100 \end{eqnarray}$ heißen sollte.

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