Unwissenschaftlich! Abbildungen von Gruppen auf Vektorräume

03.08.2020, 16:19

Borborhad

Abbildungen von Gruppen auf Vektorräume

Ich versuche gerade mit Hilfe der Gruppentheorie zu beweisen, dass der dreidimensionale Vektorraum der letzte reale Raum ist, also der Grund, warum unser realer Raum dreidimensional ist (auch wenn definitionsgemäss unendlich grosse Vektorräume möglich sind).

Die grundlegende Beweisidee geht über den Satz von Abel-Ruffini, dass eine allgemeine Polynomgleichung fünften oder höheren Grades nicht durch Radikale, d. h. Wurzelausdrücke, auflösbar ist ( https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Abel-Ruffini ) und der Definiton eines Vektorraumes, dass ein Punkt p auf einer Achse, der 1 vom Ursprung 0 entfernt ist, zu allen Punkten p', die jeweils 1 vom Ursprung 0 ihrer Achse entfernt sind, $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ von diesen Punkten p' entfernt ist.

Dabei bin ich über folgendes gestolpert: https://de.wikipedia.org/wiki/Kleinsche_...4re_Darstellung

Zitat:

Die reguläre Darstellung von V = { e , a , b , c } (...) ist die Abbildungsmatrix zu derjenigen linearen Abbildung, die die Basis e , a , b , c des 4-dimensionalen Vektorraums K e + K a + K b + K c auf x e , x a , x b , x c abbildet, das heißt die 4 Basiselemente werden als Elemente der Vierergruppe aufgefasst und mit x multipliziert.

Meine Frage ist, ob es Sinn macht, auch das neutrale Element e der Kleinsche Vierergruppe als einen Basisvektor zu definieren?

Ich versuch das mal anders auf folgende Weise: Ich definiere die Elemente der Kleinschen Vierergruppe als einen dreidimensionalen Vektorraum mit Koordinatenmittelpunkt als neutrales Element und nehme das Kreuzprodukt als Verknüpfung.

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ, während die Vierergruppe kommutativ ist. Weiterhin gilt in der Vierergruppe V = { e , a , b , c }, dass für jedes x e V auch x² = e erfüllt ist, d.h. jedes Element ist sein eigenes Inverses.
Wären a,b und c Vektoren, ergäbe das einen Widerspruch. Sind hingegen a,b und c die Achsen des Koordinatensystems, ist das Kreuzprodukt kommutativ und jede Achse wäre auch ihr eigenes Inverses.
Weiterhin gilt, dass das neutrale Element ungleich dem Nullvektor ist (https://de.wikipedia.org/wiki/Nullvektor#Kreuzprodukt), da das Kreuzprodukt mit dem Nullvektor den Nullvektor ergibt und nicht die Achse.

Somit gelten für die Elemente im Koordinatensystem:
Das Kreuzprodukt einer Achse mit sich selbst ergibt den Koordinatenmittelpunkt.
Das Kreuzprodukt des Koordinatenmittelpunkts mit einer Achse ergibt die Achse.
Das Kreuzprodukt von zwei beliebigen Achsen ergibt die dritte Achse.
Der jeweilige Winkel zwischen zwei Achsen a, b und c ist 90°.

Damit komme ich zu folgender Verknüpfungstafel der Kleinschen Vierergruppe:
$\begin{eqnarray*} KP & & e & a & b & c \\<br /> e & & e & a & b & c\\<br /> a & & a & e & c & b\\<br /> b & & b &c& e & a \\<br /> c & & c & b & a & e \end{eqnarray*}$

Nehme ich nun einen Punkt (+a) auf der Achse a an, kann ich ihn durch eine Drehung um den Koordinatenmittelpunkt auf seinen inversen Punkt (-a) abbilden. Das geht durch zwei Abbildungsvorschriften über eine der beiden anderen Achsen (was auch für die jeweigen anderen Achsen gilt).
Somit müssen, bezogen auf eine Achse, alle anderen Achsen in einer Ebene (mit dem Koordinatenmittelpunkt) liegen. Eine weitere Achse wäre damit nicht mehr linear unabhängig zu diesen beiden Achsen, da diese bereits die Ebene vollständig beschreiben.

Die Galoistheorie beschäftigt sich mit den Symmetrien der Nullstellen von Polynomen und bildet die Grundlage für den Beweis von Abel und Ruffini. Auch ein höherdimensionaler Vektorraum als der uns bekannte dreidimensionale Raum widerspricht dem Symmetrieverhalten der Achsen zum Kooridinatenmittelpunkt. Da man für eine allgemeine Lösungsformel das Polynom gleich Null setzen muss, kann ich mir durchaus vorstellen, dass der Beweis von Abel und Ruffini auch indirekt ein Beweis dafür sein könnte, dass das Universum sich dreidimensional manifestiert hat.

Was meint ihr?

03.08.2020, 18:15

Elvis

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