Linearität und Zeitinvarianz

04.08.2020, 13:07

Kevnet

Linearität und Zeitinvarianz

Meine Frage:
Guten Tag zusammen,

ich soll folgende Systeme $\begin{eqnarray*} g(t)=Tr\left\{ s(t)\right\} \end{eqnarray*}$ auf Linearität und Zeitinvarianz prüfen:
$\begin{eqnarray*} g(t)=\frac{d}{dt} s(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t)=s(-t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t)=s(t)+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t)=s(a*t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t)=s(t)*a(t) \end{eqnarray*}$

Dazu stehen mir folgende Definitionen zur Verfügung:
$\begin{eqnarray*} Tr\left\{ \sum\limits_{i}^{} a_{i} s_{i}(t) \right\} = \sum\limits_{i}^{} a_{i}*Tr\left\{ s_{i}(t)\right\} \equiv \sum\limits_{i}^{} a_{i}*g_{i}(t) für die Linearität \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Tr\left\{ s(t-t_{0}) \right\} = g\left(t-t_{0} \right) \end{eqnarray*}$ für die Zeitinvarianz

Meine Ideen:
Für die erste Aufgabe wäre meine bisherige Rechnung:

$\begin{eqnarray*} Tr\left\{ a_{1} s_{1}+a_{2} s_{2} \right\} = \frac{d}{dt} \left(a_{1} s_{1}+a_{2} s_{2}\right) = a_{1} \frac{d}{dt}s_{1}+ a_{2} \frac{d}{dt}s_{2} = a_{1} Tr\left\{ s_{1}\right\} +a_{2} Tr\left\{ s_{2}\right\} \end{eqnarray*}$ - Somit wäre die Linearität nachgewisen (?)

$\begin{eqnarray*} g(t-t_{0})=\frac{d}{dt} s\left(t-t_{0}\right) \end{eqnarray*}$ - und ebenso die Zeitinvarianz(?)

05.08.2020, 07:56

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RE: Linearität und Zeitinvarianz

Zitat:

Original von Kevnet
$\begin{eqnarray*} g(t-t_{0})=\frac{d}{dt} s\left(t-t_{0}\right) \end{eqnarray*}$ - und ebenso die Zeitinvarianz(?)

Nun ja, hier hast du meines Erachtens die Forderung nur hingeschrieben, aber nicht bewiesen.

Mit $\begin{eqnarray*} h(t) := t - t_0 \end{eqnarray*}$ hast du $\begin{eqnarray*} g(t - t_0) = \frac{d}{dt} s\left( h(t) \right) = ... \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Rechnung fortsetzen. smile

05.08.2020, 21:46

Kevnet

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Aber würde das Einsetzen nicht genau das geschriebene darstellen?

06.08.2020, 09:43

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RE: Linearität und Zeitinvarianz
Am Ende schon, aber du solltest formal korrekt die Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} s\left( h(t) \right) \end{eqnarray*}$ bilden. Wäre beispielsweise h(t) = t², sähe die Sache schon anders aus.

06.08.2020, 12:51

Kevnet

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Die Zeitinvarianz war ja folgend definiert:
$\begin{eqnarray*} Tr\left\{ s(t-t_{0} \right\} =g(t-t_{0}) \end{eqnarray*}$

Woher kommt jetzt überhaupt das h(t) her?

Als nächstes Beispiel, wenn ich in das zweite für t=t-t_0 einsetze,
$\begin{eqnarray*} g(t)=s(-t)[/ latex]<br /> [latex]g(t-t_{0})=s(-t+t_{0} ) \end{eqnarray*}$
Und somit läge keine Zeitinvarianz vor, da $\begin{eqnarray*} Tr\left\{ s(t-t_{0} \right\} =g(t-t_{0}) \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt ist?

06.08.2020, 13:20

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Zitat:

Original von Kevnet
Die Zeitinvarianz war ja folgend definiert:
$\begin{eqnarray*} Tr\left\{ s(t-t_{0} \right\} =g(t-t_{0}) \end{eqnarray*}$

Woher kommt jetzt überhaupt das h(t) her?

Du mußt doch die Ableitung von $\begin{eqnarray*} s(t-t_0) \end{eqnarray*}$ nach t bilden, denn so ist ja die Transformation Tr definiert. Dazu hatte ich mit $\begin{eqnarray*} h(t) := t - t_0 \end{eqnarray*}$ eine Hilfsfunktion eingeführt, damit dir (so meine Hoffnung) besser auffällt, mit welcher Regel die Ableitung zu bilden ist.

Zitat:

Original von Kevnet
Und somit läge keine Zeitinvarianz vor, da $\begin{eqnarray*} Tr\left\{ s(t-t_{0} \right\} =g(t-t_{0}) \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt ist?

Im Allgemeinen mag das stimmen. Bei einer konstanten Funktion s sieht das aber anders aus.

06.08.2020, 14:44

Kevnet

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Also so wie ich es bisher gesehen hab, mags etliche Varianten geben (leider).
Teils wird einfach für alle s(t) t-t0 eingesetzt. Wenn jz. z.B t*s(t) gegeben wäre, liege keine zeitinvarianz vor.

$\begin{eqnarray*} g(t)=\frac{d}{dt}s(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=t-t_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}s(t-t_{0} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Tr\left\{ s(t-t_{0}) \right\} =\frac{d}{dt} s(t-t_{0}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t-t_{0}) =\frac{d}{dt} s(t-t_{0}) \end{eqnarray*}$

Also, so verstehe ich die Rechnung verwirrt

06.08.2020, 15:11

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Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} Tr\left\{ s(t-t_0) \right\} \end{eqnarray*}$ bedeutet, daß von $\begin{eqnarray*} s(t-t_0) \end{eqnarray*}$ die Ableitung nach t zu bilden ist. Bei $\begin{eqnarray*} s(t-t_0) \end{eqnarray*}$ handelt es sich aber um eine verschachtelte Funktion, so daß bei der Bildung der Ableitung die Kettenregel zum Einsatz kommt. Würde die Funktion $\begin{eqnarray*} s((t-t_0)^2) \end{eqnarray*}$ lauten, wäre es offensichtlich. Auch wenn das in diesem Fall keine Auswirkung hat, sollte dieser formale Aspekt meines Erachtens nicht unterschlagen werden.

06.08.2020, 15:31

Kevnet

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Sorry, aber ich verstehe absolut nicht was du mir damit sagen willst traurig

Könntest du es mir an einer Beispielsrechnung zeigen, denn ich kann mir darunter einfach nichts vorstellen. Zudem da die Angabe bei uns von Zeitinvarianz einfach lautet:

Zeitinvariant: $\begin{eqnarray*} Tr\left\{ s(t-t_{0}) \right\} = g(t-t_{0}) \end{eqnarray*}$

wobei das Tr für mein System steht.

06.08.2020, 15:33

Kevnet

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Das mit der Ableitungs ist ja auch nur für den Fall, g(t)=d/dt*s(t).

Aber wie würde ich denn allgemein gütlig an solche Fälle rangehen?
Beispielsweise für g(t)=s(-t) oder g(t)=s^2(t)?

06.08.2020, 15:50

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Zitat:

Original von Kevnet
Aber wie würde ich denn allgemein gütlig an solche Fälle rangehen?
Beispielsweise für g(t)=s(-t) oder g(t)=s^2(t)?

Deine Rechnung war doch ok. Und bei $\begin{eqnarray*} Tr(s(t)) = s^2(t) \end{eqnarray*}$ gibt es auch keine Probleme:

$\begin{eqnarray*} Tr(s(t-t_0)) = s^2(t-t_0) = g(t-t_0) \end{eqnarray*}$

06.08.2020, 16:08

Kevnet

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Oh Mann ist das ganze Verwirrend smile

Nur um jetzt sicher zu gehen:
$\begin{eqnarray*} g(t)=\frac{d}{dt} s(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(t):= t-t_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(h(t))=\frac{d}{dt} s(h(t)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t-t_{0} )=h'(t)*s'(h(t)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(t)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(t-t_{0} )=s'(t-t_{0} ) \end{eqnarray*}$

Somit ist die Zeitinvarianz bestimmt, da die Forderung
$\begin{eqnarray*} g(t-t_{0} )=Tr\left\{ s(t-t_{0} )\right\} \end{eqnarray*}$
erfüllt ist. Korrekt?

PS: Die Rechenmethode für die Linearität ist ebenso richtig (Beitrag 1), oder?

07.08.2020, 09:01

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Zitat:

Original von Kevnet
Somit ist die Zeitinvarianz bestimmt, da die Forderung
$\begin{eqnarray*} g(t-t_{0} )=Tr\left\{ s(t-t_{0} )\right\} \end{eqnarray*}$
erfüllt ist. Korrekt?

Ja.

Zitat:

Original von Kevnet
PS: Die Rechenmethode für die Linearität ist ebenso richtig (Beitrag 1), oder?

Ja, sonst hätte ich schon was gesagt. smile

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