Komplexe Wurzel

05.08.2020, 18:06	Donals21	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Wurzel Meine Frage: Servus, ich soll die 4. Wurzel aus -81 berechnen (im komplexen Zahlenraum). Meine Ideen: Das ist ja quasi die Gleichung: z^4= $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{-81} \end{eqnarray}$ Hier und da umgeformt ergibt es: z^4= 3* $\begin{eqnarray} \sqrt[2]{i} \end{eqnarray}$ Da es die Form z^n=a hat, müssten die Lösungen doch zk= r * e^(i*phi) sein. Ich weiß jedoch nicht, was ich für r einsetzen soll. 4.Wurzel aus 3? Danke im Voraus
05.08.2020, 18:20	Luftikus	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt[4]{-81} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{-1} = 3 \cdot e^{i \pi [-\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}]} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{1} = 3 \cdot e^{i \pi [-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1]} \end{eqnarray}$
05.08.2020, 18:30	derselbeNochmal	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Gleichung mit Wurzel lösen Dankeschön, aber die Schritte bis dahin verstehe ich leider nicht. Wieso nimmt man denn genau 3 als r? Und wieso ist kein PI in den Exponenten vorhanden? Ich habe gefunden: phi=( alpha+2kPI ) / n Wobei n dann ja 4 wäre
05.08.2020, 18:31	derselbeNochmal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe Gleichung mit Wurzel lösen das mit dem PI habe ich übersehen
05.08.2020, 19:44	Luftikus	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, in der Notation wären das dann (komplexe) Einheitswurzeln: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\|r\|} \cdot e^{i [\varphi(k)]} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varphi(k=0,.., n-1) = \frac{\alpha+ 2 k \pi}{n} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n=4, \; r = 1 \rightarrow \alpha = 0, \; r = -1 \rightarrow \alpha = \pi \end{eqnarray}$ Den Faktor $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{81}=3 \end{eqnarray}$ berechnet man wie gehabt (reell).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »