Summe auflösen

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08.08.2020, 12:52	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe auflösen Meine Frage: Es geht um die folgende Summe $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(-1)(x^{-2}\right)^{n} dx \end{eqnarray}$ Das Ergebnis ist pi/4. Ich komme aber irgendwie nicht dadrauf. $\begin{eqnarray} =-(-1)^{1} \int_{0}^{1} \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(x^{-2}\right)^{n} d x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(x^{-2}\right)^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\left(\frac{1}{1-x^{-2}}-x^{2 \cdot 0}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\left(\frac{x^{2}}{x^{2}-1}-\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\left(\frac{1}{x^{2}-1}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{1-x^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x^{2}} \neq \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ wo ist der Fehler? mfg Meine Ideen: ...
08.08.2020, 13:45	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen Bei Anwendung der geometrischen Summenformel (im Konvergenzbereich) ist zu beachten, dass diese mit dem Laufindex n=0 beginnt! Du hast bei den Umformungen noch einen Vorzeichenfehler gemacht und mir scheint das Ergebnis nach Berechnungen auch $\begin{eqnarray} -\pi/4 \end{eqnarray}$ zu sein.
08.08.2020, 14:53	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen diese summe fängt bei 1 an. das ist so in der aufgabe. deshalb habe ich gedacht, dass ich den teil mit n=0 abziehen muss. was schlägst du vor? wie muss ich das umformen? wenn ich die erste zeile so in wolfram eingebe, kommt pi/4 raus. https://www.wolframalpha.com/input/?i=su...%29%29%2C0+to+1
08.08.2020, 15:35	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen Die Schreibweise in WolframAlpha ist mißverständlich und auch höchst problematisch, was immer Wolfram da letztlich gerechnet hat, weil ein Summenteil aus dem Integral herausgezogen wurde und nicht existierende Integrale isoliert übrigbleiben. Die gegebene Aufgabe kann man stattdessen streng von innen nach außen lösen. Zunächst $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(-1)(x^{-2}\right)^{n} dx=\int_{0}^{1} \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+2}\left(x^{-2}\right)^{n} dx=\int_{0}^{1} \! \sum\limits_{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n}\left(\frac{1}{x^{2} } \right)^n \, dx =\int_{0}^{1} \! \sum\limits_{n=1}^{\infty }\left(-\frac{1}{x^{2} } \right)^n \, dx \end{eqnarray}$ Nun wende nochmal sorgfältig die geometrische Summenformel an - innerhalb des Integrals.
09.08.2020, 13:03	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen ok ich habe irgendwo ein VZF, denn die Lösung ist ganz sicher pi/4 ich schreibe daher die hauptaufgabe auf: es geht um diese summe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{sin(n\frac{\pi }{2})}{n} \end{eqnarray}$ das umgewandelt in die folgende Summe: (vielleicht liegt hier der fehler) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1} \end{eqnarray}$ dann das einsetzen für den nenner: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! -x^{-2n} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\int_{0}^{1}(-1)(x^{-2})^{n} dx \end{eqnarray}$ das integral war ursprünglich in der summe. nach dem umformen komme ich auf -1/(x^2+1), ohne den vz fehler vom anfang. aber richtig sollte das +1/(x^2+1) sein. also eventuel fehlt ein minus am anfang. so -(-) = + wo liegt mein fehler? mfg
09.08.2020, 15:43	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen Oh, eine "Hauptaufgabe" ... Dann seh ich mir die genauer an. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{sin\left(n\frac{\pi }{2} \right) }{n} = 1 - \frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\frac{1}{7}... \end{eqnarray}$ Daraus bilde ich die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1} }{2n-1} = \end{eqnarray}$ (nach Indexverschiebung) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n} }{2n+1} \end{eqnarray}$ Letzeres ist aber gleich der Taylorreihe von arctan(x) mit Entwicklungspunkt x=0 an der Stelle x=1 und das muß dann tatsächlich $\begin{eqnarray} \pi /4 \end{eqnarray}$ ergeben. Ich verstehe nur noch nicht, inwiefern da das Integral ins Spiel kommt.
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09.08.2020, 18:22	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen das integral (nicht meine idee) wurde benutzt, damit man besser die geometrische reihe erkennt und dann die summe umschreiben kann. indem man eben den nenner wegbekommt. nach der indexverschiebung hat das nun geklappt. ich komme auf das integral , nachdem ich die summe mit der geometrischen reihe auflöse. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray}$ und das ist pi/4 und die indexverschiebung müsste ich mir mal genauer anschauen. das sagt mir nichts. wenn ichs nicht schaffe meld ich mich wieder. mfg
09.08.2020, 18:58	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{sin\left(n\frac{\pi }{2} \right) }{n} = 1 - \frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\frac{1}{7}... \end{eqnarray}$ für n= 2 haben wir doch 0/2 = 0... liege ich richtig, dass wir bei reihen nur die glieder ungleich 0 beachten? d.h. beim umwandeln ist unser n=2 eigentlich n=3 der eigentlich gegebenen summe? die indexverschiebung habe ich verstanden. ich kannte bisher nur den weg um den 0-ten glied abzuziehen, wenn ich auf eine reihe zurückführen wollte. da die reihen ja von 0 bis unendlich definiert sind. hier auf die taylorreihe zu kommen wäre schwer. vorallem, weil ich bisher keine aufgabe mit taylorreihen hatte. gibts es einen anderen weg, wie man hier auf die geometrische reihe schließen kann? mfg
09.08.2020, 19:47	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen Was heißt beachten? Summanden gleich 0 tragen zum Reihenwert nichts bei, gleichwohl nimmt der Laufindex auch die Werte 2, 4, 6, 8 ... an. Da ich aus der Sinus-Reihe zunächst nichts rauslesen konnte, habe ich die ersten Glieder der Reihe ausgeschrieben und deren Bildungsgesetz in eine andere Reihe ohne Nullglieder übersetzt. Die Idee mit dem Arcustangens war dann einfach intuitiv naheliegend, wenn schon der Wert $\begin{eqnarray} \pi/4 \end{eqnarray}$ im Raum steht. Trotz Deines Nachtrags bleibt für mich der Sinn des Integrals immer noch im Dunkeln. Nur dort trat bei mir bisher oben eine geometrische Reihe auf, die ich für die "Hauptaufgabe" aber nicht mehr benötigt habe. Liegt sicher daran, dass Dein Stoff sich ausführlicher mit theoretischen Abwandlungen an einer bestimmten Stelle des Lehrplans beschäftigt, während ich praktisch rangehe unter Ausnutzung aller mir bekannten Möglichkeiten. Du solltest doch mal die komplette Aufgabe bzw. den thematischen Zusammenhang veröffentlichen, vielleicht kann noch jemand mehr zur Erläuterung beitragen.
09.08.2020, 19:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen Die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac 1 {2n-1} = \int_{0}^{1} \! -x^{-2n} \, dx \end{eqnarray}$ stimmt einfach nicht. Das rechte Integral divergiert für alle $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ . Was stimmt ist $\begin{eqnarray} \frac 1 {2n-1} = \int_{0}^{1} \! x^{2n-2} \, dx \end{eqnarray}$ .
10.08.2020, 12:34	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe auflösen es kann durchaus sein, dass ich an dieser stelle direkt auf arctan kommen muss. vielleicht muss ich das einfach auswendig lernen. sonnst jetzt mit der indexverschiebung setze ich nun int x^(2n), 0 bis 1 ein. das ist alleine auch divergent. aber oben eingesetzt konvergiert die summe. also denke ich, dass es egal ist ich verstehe diesen weg nciht. aber es bringt mich auf die pi/4... also lasse ich das erstmal so. so wichig ist das jetzt auch nicht. hauptsache habe nun ein paar sachen wie arctan als summe, indexverschiebung u.a. gelernt. danke euch.

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