Stetige Funktion, keine Nullstelle, aber f(x)f(y)<0

09.08.2020, 16:35	Analysis9	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion, keine Nullstelle, aber f(x)f(y)<0 Wenn eine stetige Funktion keine Nullstelle hat, kann es dann x,y $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ geben, sodass f(x)f(y) < 0 gilt? Ich dachte, dass es möglich sein. Wenn ich die Funktion f: IR\{0} -> IR definiert durch f(x) 1/x nehme habe ich eine stetige Funktion. Dann finde ich zwei Funktionswerte, dessen Produkt kleiner 0 ist. Mir wurde gesagt, dass diese Argumentation nicht funktioniert, da dies kein abgeschlossenes Intervall ist und somit der Nullstellensatz nicht angewendet werden kann. Mir ist jedoch nur nicht so schlüssig, was der Nullstellensatz damit zu tun hat. Hat jemand von euch eine Idee, wo mein Denkfehler ist?
09.08.2020, 16:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetige Funktion keine Nullstelle, aber f(x)f(y)<0 Du hast Recht. Die Funktion gibt es natürlich. Was der Aufgabensteller hier dachte: Für ein Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ gibt es eine stetige Funktion $\begin{eqnarray} f \colon I \to \mathbb R \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} f(x)f(y) < 0 \end{eqnarray}$ für gewisse $\begin{eqnarray} x,y \in I \end{eqnarray}$ . Ggf. meint man hier auch $\begin{eqnarray} f\colon \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ , also den Spezialfall $\begin{eqnarray} I =\mathbb R \end{eqnarray}$ . Und so eine Funktion gibt es aufgrund des Nullstellensatzes (Zwischenwertsatz) nicht. Ohne Einschränkung, dass wir über ein Intervall reden, gibt es dein Beispiel (und viele weitere).
09.08.2020, 21:17	Analysis9	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetige Funktion keine Nullstelle, aber f(x)f(y)<0 Danke für deine Antwort. Okay. Wenn es keine weiteren Einschränkungen geben darf, dann gibt es so eine Funktion natürlich nicht. Das war für mich nicht ganz ersichtlich aus der Aufgabenstellung, dass I = IR sein sollte. Vielen Dank!

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