Alternierende absolut konvergente Reihe

10.08.2020, 13:21

Matze1507

Alternierende absolut konvergente Reihe

Meine Frage:
Hallo,

kann mir jemand sagen, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist?

\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k * a (absolut konvergent) --> \sum\limits_{k=1}^{n} a (konvergent)

Meine Ideen:
Ich denke es stimmt, wenn a eine negative Nullfolge ist.
Kann man das aber allgemeingültig sagen?

10.08.2020, 13:26

HAL 9000

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RE: alternierende absolut konvergente reihe

Zitat:

Original von Matze1507
\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k * a (absolut konvergent) --> \sum\limits_{k=1}^{n} a (konvergent)

Ich nehme mal an, das soll heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot a_k \mbox{ absolut konvergent } \Longrightarrow \sum_{k=1}^{\infty} a_k\mbox{ konvergent} \end{eqnarray*}$

Diese Implikation ist richtig, und zwar ohne jede Einschränkungen. Die linke Seite ist übrigens gleichbedeutend mit der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \left| a_k\right| \end{eqnarray*}$ . D.h., genau genommen könnte man noch "einschieben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot a_k \mbox{ absolut konvergent } \Longleftrightarrow\quad\sum_{k=1}^{\infty} a_k \mbox{ absolut konvergent } \Longrightarrow\quad \sum_{k=1}^{\infty} a_k\mbox{ konvergent} \end{eqnarray*}$

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