Cantor Diagonalargument mit rationalen Zahlen

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Stephan G. Auf diesen Beitrag antworten »
Cantor Diagonalargument mit rationalen Zahlen
Meine Frage:
Warum funktioniert das zweite Diagonalargument von Cantor nicht auch mit rationalen Zahlen?

Meine Ideen:
Wenn ich statt der reellen Dezimalzahlen rationale Dezimalzahlen einsetze, müsste ich genauso eine neue rationale Zahl erzeugen können, die vorher nicht in der Liste der rationalen Zahlen war, beispielsweise zwischen 0 und 1. Damit wären die rationalen Zahlen auch größer als die natürlichen Zahlen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Cantors Diagonalargument beweist, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar sind. Dasselbe Argument kann nicht beweisen, dass die rationalen Zahlen nicht abzählbar sind, weil die rationalen Zahlen abzählbar sind.
Wenn ein Argument zu jeder abzählbaren Liste von Dezimalzahlen eine neue Dezimalzahl erzeugt, dann erzeugt dieses Argument zu einer vollständigen Liste aller rationalen Zahlen eine neue Dezimalzahl, und diese ist irrational.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe das eher so: Warum sollte nicht, wenn man beim 2. Cantorschen Diagonalargument "reelle" durch "rationale" Zahl ersetzt und nur abbrechende oder periodische Dezimalbrüche betrachtet, die Überabzählbarkeit der rationalen Zahlen bewiesen werden können?

Meiner Ansicht nach liegt es an Folgendem:

Nehmen wir zunächst den reellen Fall. Jeder Dezimalbruch, ob abbrechend, unendlich-periodisch oder unendlich-nichtperiodisch, stellt eine reelle Zahl dar. Der mit dem Diagonalargument konstruierte Dezimalbruch stellt also auf jeden Fall eine reelle Zahl dar, die in der abzählbaren Liste sämtlicher reeller Zahlen (des Einheitsintervalls) nicht vorkommt. Widerspruch.

Jetzt der rationale Fall. Auch hier kann man einen Dezimalbruch erzeugen, der in der abzählbaren Liste sämtlicher rationaler Zahlen (des Einheitsintervalls) nicht vorkommt. Nur - was garantiert einem, daß dieser nicht nur eine reelle, sondern sogar eine rationale Zahl darstellt? Nur dann bekommt man den gewünschten Widerspruch. Man könnte sich überlegen, das Konstruktionsverfahren für den Dezimalbruch zu verfeinern, so daß man garantiert eine rationale Zahl erhält, dann wäre die Überabzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen bewiesen. Aber wie soll das gehen?
Nun, es kann nicht gehen. Eben weil man mit dem 1. Diagonalargument die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen schon bewiesen hat, muß der mit dem 2. Diagonalargument konstruierte Dezimalbruch auf jeden Fall irrational sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es eine Theorie der durch Diagonalargumente auf vollständigen Listen rationaler Zahlen erzeugbaren reellen Zahlen ? Diagonalargumente können variieren, Listen können permutiert werden, was ist sonst noch möglich ? Kann eine solche Theorie Aussagen machen, die zur Entscheidung über die Kontinuumhypothese führen ? Sind wir hier einer guten Idee auf der Spur oder ist es heute nur zu heiß ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Sind wir hier einer guten Idee auf der Spur oder ist es heute nur zu heiß ?


Machen wir aus der rhetorischen Frage eine Aussage:

"Wir sind hier einer guten Idee auf der Spur oder es ist heute zu heiß."

Wie üblich wird das "oder" als nichtausschließend aufgefaßt. Da der zweite Teil der Aussage auf jeden Fall wahr ist, ist auch die "oder"-Aussage wahr. Somit haben wir ein erstes Zwischenergebnis.

Es wird schon niemand merken, daß ich die Partikel "nur" in Elvis' Frage unterschlagen habe.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Man braucht nicht viel Phantasie Elvis. Da jede Zahl eine Darstellung besitzt mit besitzt, so ist die Frage nur wie man per Diagonalargument die in der richtigen Reihenfolge auswählt.

OBdA reicht es für zu betrachten und damit genügt es die Aufzählung mit zu betrachten. Dabei nehme ich in der Darstellung .

Damit genügt das klassische Argument von Cantor zur Konstruktion der reellen Zahlen.
 
 
Stephan G. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche einige Argumente zu zeigen:

Man könnte aus einer vorgelegten Liste von rationalen Zahlen eine neue rationale Zahl bilden und so die Überabzählbarkeit zeigen. Nun steht dort aber das 1. Diagonalargument dagegen. Was ist, wenn zwei Beweise kollidieren? Es dürfte dort dann sicher nicht der "erste" zählen? Was ist, wenn Cantor andersherum angefangen hätte?

Nun könnte man auch sagen, die mit Hilfe der rationalen Liste erzeugte Zahl ist eine reelle Zahl. Aber ist nicht eine mit Hilfe eines "mechanischen", oder sagen wir konstruktiven Vorgangs erzeugte Zahl definitiv rational, denn es sollte sich doch dann auch mechanisch ein Bruch zu dieser Zahl finden lassen?

Nehmen wir das 2. Diagonalargument. Warum führt die Liste mit reellen Zahlen nicht zu einer rationalen Zahl? Ich meine, dem mechanischen Diagonal/Stellen/Ziffer-Ersetzen ist es doch Wumpe ob es reelle oder rationale Zahlen bekommt, es wird ganz konstruktiv eine neue bilden, und für diese sollte sich doch ein Bruch finden lassen? Es leuchtet mir jedenfalls nicht ein, wieso ich ein Schritt für Schritt Verfahren angeben kann, und ich komme damit trotzdem nicht zu einer rationalen Zahl?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bedenke, dass hier stets ein unendliches Schritt-für-Schritt Verfahren angewendet wird. Wenn man nur endlich viele Veränderungen an endlich vielen rationalen Zahlen vornimmt, kommt vermutlich wieder eine rationale Zahl heraus, bei unendlich vielen Veränderungen an unendlich vielen Zahlen ist das nicht so, und es kann nicht so sein.

Das Diagonalverfahren auf die Liste aller reellen Zahlen angewandt gibt eine weitere reelle Zahl, ob rational oder irrational ist egal. Das zeigt nur, dass die Liste nicht alle reellen Zahlen enthält.
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