Vereinigung und Durchschnitt von Bild und Urbild

12.08.2020, 11:24

Tangentialvektor

Vereinigung und Durchschnitt von Bild und Urbild

Meine Frage:
Es geht um folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ Mengen, $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ Abbildungen, $\begin{eqnarray*} M_1, M_2 \subset A \end{eqnarray*}$ .
Man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(M_1 \cup M_2) = f(M_1) \cup f(M_2) \end{eqnarray*}$ und, dass $\begin{eqnarray*} f(M_1 \cap M_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(M_1 \cap f(M_2) \end{eqnarray*}$ ungleich sind. Die Lösungen sind:
$\begin{eqnarray*} y \in f(M_1 \cup M_2) \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ es existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in M_1 \cup M_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y = f(x) \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ es existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in M_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ oder es existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in M_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y = f(x) \Leftrightarrow y \in f(M_1) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \in f(M_2) \Leftrightarrow y \in f(M_1) \cup f(M_2) \end{eqnarray*}$
Der andere Beweis:
$\begin{eqnarray*} y \in f(M_1 \cap M_2) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in M_1 \cap M_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y = f(x) \Rightarrow y \in f(M_1) \cap f(M_2) \end{eqnarray*}$
Nun zur eigentlichen Frage. Warum gilt oben die Äquivalenz und unten nur die Implikation nach rechts?

~ $\begin{eqnarray*} \mathbb{T} \end{eqnarray*}$ angentialvektor

Meine Ideen:
.

12.08.2020, 12:20

Elvis

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$\begin{eqnarray*} A=\{1,2\},B=\{0\},M_1=\{1\},M_2=\{2\},f(1)=f(2)=\{0\}\Rightarrow 0\in f(M_1)\cap f(M_2), 0\notin f(M_1\cap M_2)=f(\emptyset)=\emptyset \end{eqnarray*}$

13.08.2020, 13:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} f(1)=f(2)=\{0\} \end{eqnarray*}$

Beim exzessiven Copy+Paste ist da ein geschweiftes Klammerpaar zuviel reingeraten: Da sollte schlicht $\begin{eqnarray*} f(1)=f(2)=0 \end{eqnarray*}$ stehen. Augenzwinkern

13.08.2020, 14:07

Elvis

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Alles liebevoll "handschriftlich" eingetippt, und damit hoffentlich zur Klärung der Frage beigetragen. Danke für deine Korrektur, mit der du meine Absicht erfasst hast.

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