Orthogonale Funktionensysteme generieren |
| 12.08.2020, 15:24 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Orthogonale Funktionensysteme generieren viele orthogonale Funktionensysteme (Hermite Polynome, Legendre,...) lassen sich aus der Sturm-Liouville DGL [1] ableiten. Kann man daraus automatisch weitere ableiten? D.h. kann man die Parameterfunktionen p,q und w ggf. geschickt wählen/parametrisieren so dass man ganze Klassen von orthonalen Funktionen damit erzeugen kann? Die Idee wäre dass man irgendwie geschickt p,q und w wählt/iterativ ändert und automatisch die zugehörigen orthogonalen Funktionen bestimmt und dann ggf. interessante Funktionensysteme erhält. Das zugehörige Intervall [a,b] habe ich bequemerweise erstmal ignoriert 
[1]https://de.wikipedia.org/wiki/Sturm-Liouville-Problem |
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| 13.08.2020, 09:21 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die gleiche Frage habe ich mir auch schon gestellt. Aus der Spektraltheorie für selbstadjungierte Operatoren ergibt sich, dass der Sturm-Liouville-Operator bei korrekt gestellten Randbedingungen für alle p, q ein vollständiges System von Eigenfunktionen hat. Für einige wichtige Anwendungsfälle, sind diese Eigenfunktionen bekanntlich formelmäßig darstellbar: Beispiel 1: Das Eigenwertproblem des Wasserstoffatoms führt auf Laguerrsche Polynome. Beispiel 2 Das Eigenwertproblem des quantenmechanischen harmonischen Oszillators führt auf Hermitesche Polynome Beispiel 3: Das Eigenwertproblem der statonären Wärmeleitungsgleichung in einer Kugel führt auf Legendresche Polynome (Laplace-Opartor) In den meisten Fällen lassen sich die Eigenfunktionen aber nicht einfach formelmäßig darstellen. Das dürfte sogar der Regelfall sein. Beispiel 4 Das Eigenwertproblem der runden schwingenden Menbran führt auf die Besselfunktionen, welche bekanntlich nicht als einfache Formel, sondern nur als Reihe darstellbar sind. --------------------------------------------------- Intreressant schein mir auch folgende verwandte Frage: Wie kommt man auf die "erzeugende Funktion", mit welcher man über die "Formel von Rodriguez" die oben genannten Polynome erzeugen kann. In den Lehrbüchern werden diese erzeugenden Funktionen stets ohne Herleitung/Motivation angegeben. |
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