Was ist die Idee hinter dem Hypothesen-Gegensatzpaar?

12.08.2020, 15:40

balance

Was ist die Idee hinter dem Hypothesen-Gegensatzpaar?

Hallo,

ich würde gerne folgenden t-Test ein wenig diskutieren. Irgendwie habe ich einfach immernoch Mühe damit.

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable. Wir haben 10 Beobachtungen $\begin{eqnarray*} (x_1,\dots,x_10) \end{eqnarray*}$ . Wir nehmen an, dass $\begin{eqnarray*} X\sim N(\mu,\sigma) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu=7 \end{eqnarray*}$ . Das arithmetische Mittel ist $\begin{eqnarray*} \bar{x}=8 \end{eqnarray*}$ und die empirische Standardabweichung ist $\begin{eqnarray*} s=2.97 \end{eqnarray*}$

Führe einen geeigneten Test auf dem 5%-Niveau durch, um zu beurteilen, ob $\begin{eqnarray*} \nu > 7 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Lösung:

Da die Daten normalverteilt sind und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ unbekannt ist, führen wir einen t-Test zum Niveau $\begin{eqnarray*} \alpha=0.05 \end{eqnarray*}$ durch. Wir wollen testen, ob $\begin{eqnarray*} \mu > 7 \end{eqnarray*}$ . Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} \mu_0:=7 \end{eqnarray*}$ und ein einseitiger Test mit den Hypothesen

$\begin{eqnarray*} H_=: \mu=\mu_0 = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_A: \mu >\mu_0 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} T_{n-1,1-\alpha}=t_{9,0.95}=1.833 \end{eqnarray*}$ ist der Verwerfungsbereich gegeben durch $\begin{eqnarray*} K=[1.833, \infty) \end{eqnarray*}$ . Die Realisierung der Teststatistik T errechnet sich zu

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{n}\frac{\bar{x_n} - \mu_0}{\sigma} = \sqrt{10}\frac{8-7}{2.97}=1.065\not\in K \end{eqnarray*}$

weshalb die Nullhypothese nicht verworfen wird.

Fragen:
1. Was sagt uns das jetzt? Soviel ich weis, sagt uns das "nur", dass unsere Annahme falsch war, korrekt?
2. Weiter sehe ich nicht ganz ein, wieso wir diese Art von Gegesatzpaar betrachten. Auf Wikipedia wird es gut formliert aber leider nicht effektiv gezeigt. Im Intro zu https://de.wikipedia.org/wiki/Hypothese_(Statistik) steht:

Zitat:

Häufig sagt die Nullhypothese aus, dass kein Effekt bzw. Unterschied vorliegt oder dass ein bestimmter Zusammenhang nicht besteht. Diese These soll verworfen werden, so dass die Alternativhypothese als Möglichkeit übrig bleibt. Durch dieses indirekte Vorgehen soll die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Verwerfung der Nullhypothese kontrolliert klein bleiben.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich korrekt verstehe, wieso wir die Nullhyothese kontrolliert klein lassen möchten. Ich habe natürlich eine waage Idee aber ich würde das gerne mal etwas mathematischer sehen. Leider bin ich noch zu schlecht um das korrekt selber herzuleiten.

Ich glaube die allgemeine Idee ist, dass wir eine Population haben und daraus ein Sample nehmen. Wir geben dem Sample ein Medikament das irgendwas macht und berechnen dann einen Wert. z.B. das arithmetische Mittel. Dann fragen wir, in der Verteilung/Statistik der population, wie wahrscheinlich das war. Hier wollen wir natürlich, dass es möglichst "am Rand" ist i.e. möglichst selten ist.

Das aber in Mathematik zu fassen, gelingt mir leider nicht. :/ Weis jemand, wo ich ein gutes Beispiel hierfür finde?

12.08.2020, 17:45

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Was ist die Idee hinter dem Hypothesen-Gegensatzpaar?

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable. Wir haben 10 Beobachtungen $\begin{eqnarray*} (x_1,\dots,x_{10}) \end{eqnarray*}$ . Wir nehmen an, dass $\begin{eqnarray*} X\sim N(\mu,\sigma) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu=7 \end{eqnarray*}$ . Das arithmetische Mittel ist $\begin{eqnarray*} \bar{x}=8 \end{eqnarray*}$ und die empirische Standardabweichung ist $\begin{eqnarray*} s=2.97 \end{eqnarray*}$

Führe einen geeigneten Test auf dem 5%-Niveau durch, um zu beurteilen, ob $\begin{eqnarray*} \mu > 8 \end{eqnarray*}$ ist.

Die Nullhypothese ist meist aus gutem Grund wegen möglicher Folgen konservativ.
Es gilt sozusagen wie vor Gericht die Unschuldsvermutung.
Beispiel: bevor man einem Biergartenwirt wegen betrügerischem Einschenken einen Bußgeldbescheid zustellt, sei die Alternativhypothese streng vorgegen:
Beim Test muss der Mittelwert der Probe mit 95% Sicherheit 0.95 Liter unterschreiten.
Meist kann diese Alternativhypothese verworfen werden und der Wirt bleibt unbehelligt.

So jedenfalls verstehe ich den zitierten Text.

13.08.2020, 13:37

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich denke es macht inutitiv schon Sinn, dass man konservativ sein möchte. Aber ich würde diese Idee gerne netwas mathematischer sehen. smile

13.08.2020, 14:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wir nehmen an, dass $\begin{eqnarray*} X\sim N(\mu,\sigma) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu=7 \end{eqnarray*}$ . [...] Führe einen geeigneten Test auf dem 5%-Niveau durch, um zu beurteilen, ob $\begin{eqnarray*} \mu > {\color{red}8}<br /> \end{eqnarray*}$ ist.

Wirklich 8 ? Nicht doch eher Alternativhypothese $\begin{eqnarray*} \mu > {\color{red}7} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

14.08.2020, 10:30

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ein typo. Ich habe den Post verbessert. Ich habe auch garnicht bemerkt, dass ein latex endttag gefehlt hat.

14.08.2020, 14:21

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

im Prinzip ist es einfach: die Ablehnung einer Hypothese ist logisch stärker und beinhaltet den bekannten Wert des $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Fehlers.
Wenn man daraus schließt, dass das Gegenteil zutrifft begeht den $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ -Fehler dessen Wert nicht per se vorliegt.

Für das Beispiel übertragen: Wenn der Wirt nicht überführt wurde, dann ist er nicht zwangsläufig ein ehrlicher Bierzapfer. Eine solche Behauptung ist vom Fehler 2. Art bedroht der je nach Stichprobe erheblich sein kann. Eine saubere "Folgerung" ist dann das Schlichte
dem Wirt konnte kein Vergehen nachgewiesen werden.

Wenn man mit vorgegebener Wkt $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ die Ehrlichkeit belegen will, dann muss die Wkt, dass der beobachtete Mittelwert > 1Liter zufällig ist, kleiner als $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein.

15.08.2020, 18:08

balance

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so irgendwie ist mir das Ganze schon klar, aber ich möchte halt echt einfach eine Art math. Herleitung sehen welche dann interpretiert wird. Ich weis nicht ob ich falsch suche, aber die meisten Quellen die ich las, schmeissen einem eifach "die Formeln" an den Kopf.

Ich bin jetzt nochmal die ganze Theorie der parametrischen statistischen Analye durchgegangen und es wurde vieles klar. Leider fehlt es ein wenig, an gut intepretierten Beispielen. Aber ich denke, man kann das ganze in etwa so zusamenfassen (zumindest den Test Teil der parametrischen statistischen Analye).

Das ganze ist sehr "schlampig", da es eher eine Übung für mich selber war um zu testen, ob ich es einigermassen begriffen habe. In ganz kurz: Bei testen berechnen wir erst eine Schranke k so dass z.B: (es muss nicht $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ sein) $\begin{eqnarray*} P[T<k]=\alpha \end{eqnarray*}$ gilt. Wobei wir $\begin{eqnarray*} \alpha] \end{eqnarray*}$ selbst gewählt haben. Dann wissen wir, für welche k wir eine Sichherheit von $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ haben, dass die Aussage stimmt. Dann berechnet mann den effektiven Wert von T und schaut, ob die Ungleichung aufgeht. Hier etwas detaillierter:

Danke für die Inputs. Ich würde gerne ein viel detaillierteren Post machen habe aber gerade kaum Zeit. :/ Wie gesagt muss darauf nicht unbedingt reagiert werden.

Wir haben ein Sample/Datensatz $\begin{eqnarray*} x_1,\dots,x_n \end{eqnarray*}$ und fassen diesen auf als realisierte Werte von Zufallsvariabeln $\begin{eqnarray*} X_1,\dots,X_n \end{eqnarray*}$ .

Wir müssen nun eine Modellannahme treffen und machen es uns einfach mit der Annahme $\begin{eqnarray*} X_i \sim N(\mu,\sigma) \ \ i.i.d, \quad \forall i \end{eqnarray*}$

Wir wollen unser Modell nun einschränken und suchen somit einen Parameter (wir schötzen den Parameter mit einem Schätzer). Und danach testen wir den Parameter. Ich mache es mir hier einfach und sage, die Varianz sei bekannt. Somit suchen wir den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

Ein guter Schätzer für den Erwartungswert ist das arithmetische Mittel. (D.h. er ist erwartungstreu und konsistent)

Wir wollen nun also wissen, ob die Schätzung gut ist. Doch wann ist eine Schätzung gut? Eine Schätzung ist gut, wenn sie mit dem echten Wert übereinstimmt, doch das können wir nicht überprüfen, daher sind wir zu frieden, wenn wir z.B. 95% sicher sein können, dass der Schätzwert innerhalb eines gewissen Intervalls liegt.

Wir suchen also z.B. $\begin{eqnarray*} P[\bar{X} < k]=\alpha \end{eqnarray*}$ . Da wir uns in einer Normalverteilung befinden, wäre diese Wahrchienlichkeit schwer (von Hand) zu berechnen. Aber zum Glück gibt es den Zentralen Grenzwertsatz der uns erlaubt das ganze in der standardtisierten Normalverteilung zu betrachten.

Also $\begin{eqnarray*} S_n^3 = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Wir würden hier, da ja die Varianz bekannt ist, gerade die Teststatistik für einen z-test erhalten.

Das durchführen des Tests wäre dann effektiv, als erstes das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ herauszufinden. Das gibt uns eine (untere/obere/beidseitige) Schranke für unser $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ bzw. die standartisierte version davon $\begin{eqnarray*} \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ . Nun schauen wir: ist unser $\begin{eqnarray*} \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ den wirklich innerhalb der Schranke die von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ augespannt wird oder nicht? Und jenachdem wissen wir, ob der Test "bestanden" wurde, oder nicht.

Neue Frage »

Antworten »

Was ist die Idee hinter dem Hypothesen-Gegensatzpaar?

Verwandte Themen