Wurzel aus Summe mit Wurzel

12.08.2020, 16:08

MasterWizz

Wurzel aus Summe mit Wurzel

Hey Leute,

kann mir bitte jemand erklären wie sich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{10+\sqrt{108}} = 1+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ herleiten lässt? Wenn man das Ergebnis einmal kennt ist es ja einfach zu zeigen, aber angenommen man kennt das Ergebnis nicht und will selbst drauf kommen. Wie geht das?

Vielen Dank für eure Hilfe! smile

12.08.2020, 16:42

G120820

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RE: Wurzel aus Summe mit Wurzel
Vlt. hilft dir
108= 3*36 --> Teilwurzel ziehen

12.08.2020, 16:48

MasterWizz

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RE: Wurzel aus Summe mit Wurzel
Ja ich überleg auch grad, ob der Ansatz $\begin{eqnarray*} 10+6\sqrt{3} = (a+b\sqrt{3})^3 \end{eqnarray*}$ weiterhilft. Es entstehen mit Koeffizientenvergleich zwei Gleichungen mit a und b, aber das liefert nur wieder eine Gleichung vom Grad 3.. Hoffe jemand kommt auf eine angenehmere Idee...

Edit: Ich hab mich vermacht, da kommt eine Gleichung 6. Grades raus. Es muss einen anderen Weg geben xD

12.08.2020, 18:12

Finn_

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Ausmultiplizieren bzw. binomischer Lehrsatz und dann vereinfachen genügt doch.

$\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{3})^3 = 1 + 3\sqrt{3} + 3\cdot 3 + 3\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3} = 10 + \sqrt{6^2\cdot 3} \end{eqnarray*}$

12.08.2020, 19:30

G120820

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Die Frage ist m.E. eher: Wie kommt auf die rechte Seite.
Umgekehrt ist es banal. verwirrt

13.08.2020, 15:22

klauss

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RE: Wurzel aus Summe mit Wurzel
Um wenigstens die 3. Wurzel wegzukriegen, kann man einfach mal den Ansatz machen
$\begin{eqnarray*} 10+6\sqrt{3}=(a+\sqrt{3})^{3} \end{eqnarray*}$
Dann kann man für
$\begin{eqnarray*} a=\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}-\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
zumindest einen dezimalen Näherungswert angeben.

Da der Taschenrechner hier aber glatt $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ auswirft, hat man Glück gehabt und kann nachforschen:

$\begin{eqnarray*} 10+6\sqrt{3}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+9+6\sqrt{3}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+\left(\sqrt{3} \right)^{4}+2\left(\sqrt{3} \right)^{3}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{3}\left(\sqrt{3} \right)^{3}+\left(\sqrt{3} \right)^{3}+\left(\sqrt{3} \right)^{3} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1+3\left(\sqrt{3} \right)^{2}+3\sqrt{3}+\left(\sqrt{3} \right)^{3}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(1+\sqrt{3} \right)^{3} \end{eqnarray*}$

13.08.2020, 15:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
aber angenommen man kennt das Ergebnis nicht und will selbst drauf kommen.

Dazu ist anzumerken, dass das nur in den seltensten Fällen klappt. D.h., dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+b\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ mit ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ sich als $\begin{eqnarray*} c+d\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ mit ebenfalls ganzen Zahlen schreiben lässt, ist schon sehr selten anzutreffen. Umgekehrt geht es natürlich immer. Augenzwinkern

P.S.: Erinnert mich ein wenig an http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=554395. Augenzwinkern

13.08.2020, 16:01

MasterWizz

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Danke euch für die Beteiligung am Problem. Soweit ich jetzt rausgefunden habe, lässt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+b\cdot\sqrt{c}} \end{eqnarray*}$ vereinfachen zu $\begin{eqnarray*} x+y\cdot\sqrt{c} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\cdot c \end{eqnarray*}$ eine Kubikzahl ist.

Wie die Methode dann genau aussieht, ob die Aussage auch anders rum funktioniert oder wie es allgemein funktioniert, weiß ich noch nicht. Würde mich aber freuen, wenn doch noch jemand eine Idee hat und hier Anregungen posten würde.

14.08.2020, 10:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
Soweit ich jetzt rausgefunden habe, lässt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+b\cdot\sqrt{c}} \end{eqnarray*}$ vereinfachen zu $\begin{eqnarray*} x+y\cdot\sqrt{c} \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\cdot c \end{eqnarray*}$ eine Kubikzahl ist.

Betrachten wir mal $\begin{eqnarray*} a=10,b=9,c=3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2+b^2c = 343 = 7^3 \end{eqnarray*}$ . Welche ganzzahligen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ sollen dann deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} (x+y\sqrt{3})^3 = 10+9\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ erfüllen? verwirrt

Auch in der Gegenrichtung stimmt das nicht: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} = 1+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ und es ist $\begin{eqnarray*} 10^2+6^2\cdot 3 = 208 \end{eqnarray*}$ keine Kubikzahl.

EDIT: Aus $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}=x+y\sqrt{c} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=x-y\sqrt{c} \end{eqnarray*}$ und durch Produktbildung $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a^2-b^2c} = x^2-y^2c \end{eqnarray*}$ . Damit bekommen wir schon mal die notwendige Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} a^2-b^2c \end{eqnarray*}$ eine Kubikzahl ist. Ob die auch hinreichend ist, wäre noch zu erforschen.

14.08.2020, 11:43

rumar

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RE: Wurzel aus Summe mit Wurzel
Wer einfach irgendwie, also z.B. im Rahmen einer Aufgabenlösung, auf den Ausdruck der linken Seite stößt, wird wohl in der Regel gar nicht merken, dass sich der Term noch vereinfachen ließe.
Einem Menschen, den man irgendwo antrifft, wird man beispielsweise auch nicht ansehen, dass er im Vatikan geboren worden ist, auch falls dies zutreffen sollte ...

14.08.2020, 17:55

MasterWizz

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Zitat:

Original von HAL 9000
Aus $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}=x+y\sqrt{c} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=x-y\sqrt{c} \end{eqnarray*}$ und durch Produktbildung $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a^2-b^2c} = x^2-y^2c \end{eqnarray*}$ . Damit bekommen wir schon mal die notwendige Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} a^2-b^2c \end{eqnarray*}$ eine Kubikzahl ist. Ob die auch hinreichend ist, wäre noch zu erforschen.

Stimmt du hast Recht, da hab ich mich nur verschrieben. Hinreichend ist die Bedingung aber leider nicht, weil sich z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{4+2\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ nicht vereinfachen lässt, obwohl $\begin{eqnarray*} 4^2-2^2\cdot2=8 \end{eqnarray*}$ eine Kubikzahl ist.

Ich hab jetzt in den letzten 2 Tagen von morgens bis Abends recherchiert und komme einfach nicht weiter. Die Mathematikerin Susan Landau scheint einen Algorithmus entwickelt zu haben, der überprüft, wann sich solche Ausdrücke vereinfachen lassen. Aber eine Methode so eine Vereinfachung zu bestimmen, habe ich bisher nicht gefunden. Aber auch keinen Beweis, dass es so eine Methode nicht geben kann. Es scheint, als ob die Menschheit es einfach bis heute nicht weiß, wie das funktioniert.

HAL, hast du zufällig eine Idee, wie man weiter machen kann oder wo man weiter recherchieren kann? Ich muss einfach wissen, wie das funktioniert und du bist doch sicher auch heiß drauf!

Ich habe auch schon verschiedene Ansätze probiert wie $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a\pm b\sqrt{c}}=\sqrt{x}\pm\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a\pm b\sqrt{c}}=x\pm y\sqrt{c} \end{eqnarray*}$ , aber ohne Erfolg. Der letzte schien am vielversprechensten, aber es ergab sich trotz geschickter Umformungen lediglich nach ewig langer Rechnung $\begin{eqnarray*} x=\tfrac12\left(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}c}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}c}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\tfrac{1}{2\sqrt{b}}\left(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}c}-\sqrt[3]{a-\sqrt{b}c}\right) \end{eqnarray*}$ . Das wirkt letztendlich ernüchtern trivial und hilft nicht weiter, aber mehr hab ich auch nicht zustande bekommen bisher..

EDIT: Anders als im Fall $\begin{eqnarray*} \sqrt{a\pm b\sqrt{c}} \end{eqnarray*}$ , wo man nach dem Ansatz $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\pm\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ geschickt mit dem Satz von Vieta argumentieren kann, scheitert es bei der 3.Wurzel an der Lösung des entstehenden Nicht-linearen Gleichungssystems. Das Umformen, Einsetzen,... führt wieder auf eine Gleichung 3. Ordnung, die das "tiriviale" Ergebnis liefert, wenn man dort widerrum die Formel von Cardano verwendet.

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