Beweis: 4 Punkte bilden ein Rechteck

Neue Frage »

andyrue Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: 4 Punkte bilden ein Rechteck
hallo, habe eine frage bzgl. einer aufgabe weil mein lösungsweg ist deutlich kürzer als die musterlösung.

Die Grundfläche eines Hauptbahnhofs (Hbf) wird durch ein Viereck mit den Eckpunkten
B1(0|1|0), B2(3|0|0), B3(5|6|0) und B4(2|7|0) modelliert.

...

Zeige dass die Grundfläche des Hbf ein Rechteck ist.


meine lösung: ich habe als erstes die längen der vier seiten ausgerechnet und gezeigt, dass alle gegenüberliegenden seiten gleich lang sind. ... soweit, sogut ...

nun hat ein rechteck 4 rechte innenwinkel. ich habe also mittels skalarprodukt gezeigt, dass einer von diesen 4 rechtwinklig ist.

denn wenn dieser rechtwinklig ist müssen die drei anderen winkel zwangläufig auch rechtwinklig sein (alle 4 punkte liegen auf einer ebene, die x3-koordinate ist immer Null).
mir fällt kein mögliches rechteck in einer ebene ein, wo - wenn gegenüberliegende seiten gleich lang sind und ein winkel recht ist, die anderen winkel nicht rechtwinklig sein können.


ich frage deswegen, weil in der lösung die rechtwinkligkeit für alle 4 innenwinkel bewiesen wurde, was mich stutzig macht, denn es ist ein alte abiaufgabe und die musterlösungen beschränken sich sonst immer auf das wesentliche,

andy
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß in einem Viereck gegenüberliegende Seiten jeweils gleich lang sind, ist notwendig und hinreichend dafür, daß dieses ein Parallelogramm ist. Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel hat aber von alleine vier rechte Winkel, ist also ein Rechteck.
Du hast also alles richtig gemacht.

Man könnte allerdings noch kürzer argumentieren. Man überprüft zunächst die Gleichheit



Wenn diese vorliegt, weiß man bereits, daß das Viereck ein Parallelogramm ist. Es ist daher überflüssig, die Seitenlängen zu ermitteln. Dieses könnte höchstens von Vorteil sein, wenn man die Längen in späteren Aufgabenteilen benötigt.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Prüfen die Schreiner nicht über die Gleichheit der Diagonalen (also ) ein Rechteck?

Viele Grüße
Steffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
also


Du meinst sicher:



Dieser Test auf Rechteck ist aber nur dann gültig, wenn das Viereck sich zuvor schon als Parallelogramm erwiesen hat. Dafür kann der Schreiner auf Längengleichheit gegenüberliegender Seiten prüfen.
quadrierer Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hilft auch das Zeichnen eines Kreises durch drei der gegebenen Punkte weiter. Liegt der vierte Punkt dann auch auf dem Kreis und ist Endpunkt einer durch den Mittelpunkt gehenden Diagonale, dann ist das Viereck der gegebenen vier Eckpunkte ein Rechteck.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Daß in einem Viereck gegenüberliegende Seiten jeweils gleich lang sind, ist notwendig und hinreichend dafür, daß dieses ein Parallelogramm ist.

Das trifft zwar zu, wenn noch klar ist, dass es sich um ein ebenes und "normales", nicht überschlagenes Viereck handelt.

Das (ebene) Viereck ABCD mit A(0|0) , B(1|1) , C(0|1) , D(1|0) erfüllt die Bedingungen |AB| = |CD| und |AC| = |BD| , ist aber kein Parallelogramm.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Im Begriff "Viereck" steckt schon drin, daß sich keine Seiten überschlagen. Ich kenne das nicht anders. In der Vierecks-Hierarchie bei Wikipedia wird das überschlagene Viereck zwar als Sonderform des Vierecks aufgeführt, im Text heißt es aber dann: "Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen."
Das ist in sich nicht ganz konsistent. Halten wir es daher mit derselben Inkonsistenz wie die Praktiker: Vierecke sind niemals überschlagen. Und wenn sie es doch einmal sein können, dann sagt man das dazu.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man von einem Viereck ABCD (in der Ebene) einfach die Koordinaten aller Eckpunkte vorgelegt bekommt, kann man zwar leicht alle Seitenlängen berechnen und vergleichen. Ob das Viereck aber eventuell überschlagen ist, lässt sich aus den Seitenlängen allein aber nicht entscheiden - und damit auch nicht, ob es sich z.B. wirklich um ein Parallelogramm handeln muss.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig, aus diesem Grund habe ich auch dieses Kriterium für ein Parallelogramm gegeben:

Zitat:
Original von Leopold
Man überprüft zunächst die Gleichheit



Im konkreten Fall liegen alle Punkte in der -Ebene. Eine Kritzelzeichnung zeigt sofort, daß es sich bei um ein Viereck handelt. Man kann daher auch das (hier zugegebenermaßen etwas umständliche) Parallelogrammkriterium mit den Seitenlängen nehmen. Das war das Vorgehen von andyrue.

Wenn ein Schreiner überprüft, ob seine rechtwinklige Platte sauber gearbeitet ist, wird er wohl auch nicht von einem überschlagenen Viereck ausgehen. Allein durch fünf Längenmessungen (vier Seiten, eine Diagonale) kann er die Entscheidung fällen.

Passend dazu auch die Aufgabe 67.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »