Falls Radius lognormal verteilt, dann auch das Volumen

13.08.2020, 13:34	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls Radius lognormal verteilt, dann auch das Volumen Hallo, Der Radius R eines kugelförmigen Teilchens sei uniform (gleich) verteilt auf dem Intevall $\begin{eqnarray} [10,100] \mu m \end{eqnarray}$ und V bezeichne das Volumen dieses teilchens. Wir nehmen nun an, der Radius R sei lognormal verteilt (eine Zufallsvariable Y heisst lognormal verteilt, falls logY eine normalverteilte Zufallsvariable ist.) Zeige: Wenn R lognormal verteilt ist, dan ist auch V lognormal verteilt. Was sie machen, ist: $\begin{eqnarray} R\sim lognormal(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray} R \sim N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray}$ . Weiter hat man $\begin{eqnarray} log V = log(\frac{4\pi}{3} R^3) = log \frac{4\pi}{3} + 3\log R \tag{1} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} V \sim N(3\mu + \log\frac{4\pi}{3}, 9\sigma^2)\tag{2} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} V \sim lognomal (3\mu + \log \frac{4\pi}{3}, 9\sigma^2 \tag{3} \end{eqnarray}$ Wie genau kommen sie vo (1) auf (2)? Woher wissen sie sofort wie sie Erwartungswert und Varianz transformieren müssen?

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