Uneigentliche Integrale berechnen

13.08.2020, 15:19

Robin_42

Uneigentliche Integrale berechnen

Meine Frage:
Hallo, ich komme bei folgenden zwei Aufgaben nicht weiter:
Berechne folgende uneigentliche Integrale:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{cosx}{(x-\frac{\pi}{2})^{2}} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty}\frac{1}{2x+3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Beim ersten habe ich substituiert:
$\begin{eqnarray*} u=x-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{sinu}{u^{2}} \end{eqnarray*}$ das bringt mich allerdings nicht weiter.
Beim zweiten integral ist die stammfunktion ja offensichtlich: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}ln(2x+3) \end{eqnarray*}$ das divergiert aber für die gegebenen Grenzen. Was mache ich beim zweiten falsch und wie berechne ich das erste?

13.08.2020, 15:45

HAL 9000

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Die Substitution hätte ich auch so durchgeführt. Zum Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u^2} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ kann man klar sagen, dass es nicht existiert, auch mit Betrachtung als uneigentliches Integral mit der kritischen Stelle $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ nicht, denn es ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} \frac{\sin(u)}{u^2} ~ \dd u = \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^0 \frac{\sin(u)}{u^2} ~ \dd u = -\infty \end{eqnarray*}$ .

Was allenfalls möglich ist, wäre die Berechnung des zugehörigen Cauchy-Hauptwerts, d.h.

$\begin{eqnarray*} \operatorname{CH}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u^2} ~ \dd u := \lim_{\varepsilon\to 0+} \left( \int\limits_{-\infty}^{-\varepsilon} \frac{\sin(u)}{u^2} ~ \dd u ~+~ \int\limits_{\varepsilon}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u^2} ~ \dd u \right) \end{eqnarray*}$

Der ist hier trivialerweise gleich 0, dank der Ungeradheit der Sinusfunktion.

14.08.2020, 11:12

Robin_42

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Danke erstmal. Könnte man beim ersten Integral auch den Feynman Trick verwenden? Ich weiß, dass es zumindest geht, wenn im nenner x statt x^2 steht.

Und beim zweiten hast du auch keine Idee?

14.08.2020, 11:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Robin_42
Könnte man beim ersten Integral auch den Feynman Trick verwenden?

Durch keinen Trick wird das Integral plötzlich existent. Wie gesagt, es existiert nur als Cauchy-Hauptwert, sonst nicht!!! D.h., auch nicht als normales uneigentliches Integral.

Zitat:

Original von Robin_42
Und beim zweiten hast du auch keine Idee?

Das zweite ist trivial, deswegen habe ich nichts dazu gesagt. Du hast doch das wesentliche schon dazu geschrieben, d.h, es ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{2x+3}~ \dd x = \infty \end{eqnarray*}$ .

14.08.2020, 11:25

Leopold

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Verdacht: Robin_42 hat die Aufgabenstellung nicht korrekt wiedergegeben. Ich könnte mir vorstellen, daß sie so oder ähnlich lautete: "Untersuche die Integrale auf Konvergenz und gib (gegebenenfalls) ihren Wert an."

14.08.2020, 15:25

Robin_42

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Nein, ich habe sie schon richtig aufgeschrieben. Bei beiden steht "berechnen Sie"

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