Kurvenintegral, Singularitäten

14.08.2020, 11:53

Peterrr

Kurvenintegral, Singularitäten

Meine Frage:
Bestimme alle Singularitäten von $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z^{2}+1}+sin(\frac{1}{z}) \end{eqnarray*}$ und berechne dann folgendes Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1}^{}dz\frac{1}{z^{2}+1}+sin(\frac{1}{z}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Man sieht ja sofort, dass die Singularitäten -i,+i und 0 sind. Dann habe ich die Art der Singularitäten bestimmt:
zuerst betrachtete ich die Singularität z=0, dazu habe ich die Funktion in eine Laurent Reihe entwickelt in folgendem Definitionsbereich:
$\begin{eqnarray*} D_{0,1}(0) \end{eqnarray*}$ da in diesem Bereich nur diese eine Singularität existiert. Als Reihe erhalte ich hier:
$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{2n}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}z^{-(2n-1)} \end{eqnarray*}$
wobei der zweite "Summand" offensichtlich die Hauptreihe ist, wobei es unendlich viele n gibt so dass das, worüber summiert wird, ungleich 0 ist, damit ist diese Singularität wesentlich. Betrachtet man die Funktion in $\begin{eqnarray*} D_{0,1}(+-i) \end{eqnarray*}$ da gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z+i)(z-i)} \end{eqnarray*}$ sieht man sofort, dass es jeweils ein Pol 1. Ordnung ist.

Nun zu meinem Problem, dem Kurvenintegral. die rechte seite habe ich zwar noch nciht berechnet, die ist aber zumindes möglich mit meinen Mitteln $\begin{eqnarray*} \int_{|z|=1}^{}dzsin(\frac{1}{z}) \end{eqnarray*}$ Mein Problem ist das Integral über den linken Summand, da ja beide Singularitäten auf der Kurve liegen, über die man intergrieren soll. Und da ist mir schleierhaft, wie das gehen soll.

14.08.2020, 12:07

Leopold

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RE: Kurvenintegral, Singularitäten

Zitat:

Original von Peterrr
Mein Problem ist das Integral über den linken Summand, da ja beide Singularitäten auf der Kurve liegen, über die man intergrieren soll. Und da ist mir schleierhaft, wie das gehen soll.

Das geht auch nicht. Einfach beim Aufgabensteller nachfragen. Vielleicht handelt es sich um
einen Druckfehler:

$\begin{align*} \int_{|z|=2} \ldots ~ \dd z \end{align*}$

14.08.2020, 12:35

IfindU

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RE: Kurvenintegral, Singularitäten
@Leopold: Kann man nicht die Definition des Kurvenintegrals nehmen und es dann wie ein uneigentliches Riemann-Integral auswerten? Das Ergebnis wäre "das Integral existiert nicht". Definiert man es deswegen nicht, weil es bei keiner Singularität ein sinnvolles Ergebnis liefert?

14.08.2020, 13:53

Leopold

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Wenn man Singularitäten auf dem Integrationsweg verbietet, ist man auf der sicheren Seite. Die Frage, ob sich der Begriff des komplexen Kurvenintegrals auf uneigentliche komplexe Kurvenintegrale ausdehnen läßt, dergestalt, daß der endliche Integrationsweg "böse" Stellen hat, ist berechtigt.

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